Mục 2 trang 39, 40 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

Cho hai hình vuông tùy ý ABCD và A’B’C’D’ có giao điểm hai đường chéo lần lượt là O và O’ (Hình 4).

a) Gọi \({A_1}{B_1}{C_1}{Đ_1}\)  là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ . Gọi φ là góc lượng giác (O’A₁, O’A’). Tìm ảnh \({A_2}{B_2}{C_2}{Đ_2}\) của hình vuông A₁B₁C₁D₁ qua phép quay \({Q_{\left( {O',{\rm{ }}\varphi } \right)}}.\)

b) Cho biết \(\overrightarrow {OA'}  = k\overrightarrow {O{A_2}} \). Tìm ảnh của hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{Đ_2}\) qua phép vị tự \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}.\)

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy cho biết ta có thể kết luận là hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau được không. Giải thích.

2. Phương pháp giải

Để tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình ta tìm ảnh của các điểm thuộc hình đó qua phép biến hình. Sau đó nối chúng lại với nhau.

3. Lời giải chi tiết

a) Do phép quay là phép dời hình nên ảnh A₂B₂C₂D₂ của hình vuông A₁B₁C₁D₁ cũng là hình vuông có kích thước bằng hình vuông A₁B₁C₁D₁.

Theo đề, ta có A₁B₁C₁D₁ là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {{\rm{OO}}'} \).

Mà O là tâm của hình vuông ABCD.

Nên ta có O’ là tâm của hình vuông A₁B₁C₁D₁.

Mà A₂B₂C₂D₂ là ảnh của hình vuông A₁B₁C₁D₁ qua \({Q_{(O',\;\varphi )}}\;\) (giả thiết).

Suy ra O’ cũng là tâm của hình vuông A₂B₂C₂D₂.

Do đó O’A₂ = O’B₂ = O’C₂ = O’D₂.

Để tìm ảnh A₂B₂C₂D₂ của hình vuông A₁B₁C₁D₁ qua ta tìm vị trí các điểm A₂, B₂, C₂, D₂ theo thứ tự là ảnh của các điểm A₁, B₁, C₁, D₁ qua \({Q_{(O',\;\varphi )}}.\)

Ta có \({A_2}\; = {\rm{ }}{Q_{(O',\;\varphi )}}({A_1}).\)

Suy ra \(O'{A_2}\; = {\rm{ }}O'{A_1}\;,{\rm{ }}(O'{A_1},{\rm{ }}O'{A_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}\varphi .\)

Mà \(\varphi {\rm{ }} = {\rm{ }}(O'{A_1},{\rm{ }}O'A')\) (giả thiết).

Do đó A₂ nằm trên đường thẳng O’A’.

Vì vậy A₂ là một điểm nằm trên đường thẳng O’A’ thỏa mãn O’A₂ = O’A₁.

Ta có \({B_2}\; = {\rm{ }}{Q_{(O',\;\varphi )}}({B_1}).\)

Suy ra \(O'{B_2}\; = {\rm{ }}O'{B_1},(O'{B_1},{\rm{ }}O'{B_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}\varphi .\)

Ta có O’ là tâm của hình vuông A₂B₂C₂D₂ và hình vuông A’B’C’D’.

Khi đó \(\widehat {{A_1}O'B} = {90^o} - \widehat {{A_2}O'{A_1}}\) và \(\widehat {{A_1}O'B'} = {90^o} - \widehat {A'O'{A_1}}\)

Suy ra \(\widehat {{A_1}O'{B_2}} = \widehat {{A_1}O'B'}\)

Do đó B₂ nằm trên đường thẳng O’B’.

Vì vậy B₂ là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’ thỏa mãn \(O'{B_2}\; = {\rm{ }}O'{B_1}.\)

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ C₂ nằm trên đường thẳng O’C’ thỏa mãn O’C₂ = O’C₁;

⦁ D₂ nằm trên đường thẳng O’D’ thỏa mãn O’D₂ = O’D₁.

Vậy ảnh của hình vuông A₁B₁C₁D₁ qua Q_(O’, φ) là hình vuông A₂B₂C₂D₂ thỏa mãn A₂, B₂, C₂, D₂ lần lượt nằm trên O’A’, O’B’, O’C’, O’D’ và O’B₂ = O’C₂ = O’D₂ = O’A₂ = O’A₁.

b) Để tìm ảnh của hình vuông A₂B₂C₂D₂ qua V_{(O’, k)}, ta tìm ảnh của các điểm A₂, B₂, C₂, D₂ qua V_{(O’, k)}.

Theo đề, ta có \(\overrightarrow {O'A'}  = k\overrightarrow {O'{A_2}} \) .

Suy ra \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({A_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}A',{\rm{ }}O'A'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.O'{A_2}.\)

Ta có O’A₂ = O’B₂ (chứng minh trên) và O’A’ = O’B’ (O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’).

Suy ra \(\frac{{O'{B_2}}}{{O'B'}} = \frac{{O'{A_2}}}{{O'A'}} = \frac{1}{{\left| k \right|}}\)

Do đó O’B’ = |k|.O’B₂.

Mà  \(\overrightarrow {O'B'} ,\overrightarrow {O'{B_2}} \) cùng phương (B₂ là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’).

Suy ra \(\overrightarrow {O'B'}  = k.\overrightarrow {O'{B_2}} \)

Do đó \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({B_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}B'.\)

Chứng minh tương tự, ta được \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({C_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}C',{\rm{ }}{V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({Đ_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}D'.\)

Vậy ảnh của hình vuông A₂B₂C₂D₂ qua \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}\;\) là hình vuông A’B’C’D’.

c) Từ kết quả của câu a) và b), ta thấy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O’, góc quay φ = (O’A₁, O’A’) và phép vị tự tâm O, tỉ số k biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.

Do đó hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau.

Vậy hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau.

1. Nội dung câu hỏi

Tìm các cặp hình đồng dạng với nhau có trong Hình 5.

2. Phương pháp giải

Quan sát hình 5 để tìm các cặp hình đồng dạng

3. Lời giải chi tiết

⦁ Xét cặp hình (a) và (b):

Ta có \(O{A_1}\; = {\rm{ }}2OA\) và  \(\overrightarrow {O{A_1}} \;,\,\overrightarrow {OA} \) cùng phương.

Suy ra \(\overrightarrow {O{A_1}}  = 2\,\overrightarrow {OA} \)

Do đó \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}.\)

Chứng minh tương tự, ta được \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{B_1}.\)

Vì vậy \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\left( {AB} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}.\)

Khi đó \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\;\) biến hình (a) thành hình (b).

Vì vậy phép đồng dạng tỉ số 2 biến hình (a) thành hình (b).

Do đó hình (a) và hình (b) đồng dạng với nhau.

⦁ Ta xét hình (b) và hình (c):

Ta có M là trung điểm B₁B’.

Suy ra \(B'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_M}({B_1}).\)

Chứng minh tương tự, ta được \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_M}({A_1}).\)

Do đó

Khi đó \({Đ_M}\) biến hình (b) thành hình (c).

Vì vậy phép đồng dạng tỉ số 1 biến hình (b) thành hình (c).

Do đó hình (b) và hình (c) đồng dạng với nhau.

⦁ Ta xét hình (a) và hình (c):

Ta có phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\;\) và \({Đ_M}\)  biến hình (a) thành hình (c).

Do đó hình (a) và hình (c) đồng dạng với nhau.

Vậy các cặp hình đồng dạng với nhau có trong Hình 5 là: cặp hình (a) và (b); cặp hình (b) và (c); cặp hình (c) và (a).