Mục 4 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng cho điểm I. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM' (hay M' là điểm đối xứng với M qua điểm I) (Hình 18).

2. Phương pháp giải:

Với mỗi điểm M bất kì, xác định M' sao cho I là trung điểm của MM', từ đó rút ra kết luận

3. Lời giải chi tiết:

Cách xác định:

Lấy điểm I trong mặt phẳng, với mỗi điểm M bất kì, ta vẽ đường thẳng MI, trên đường thẳng này, ta lấy điểm M' sao cho MI = M'I và điểm I nằm giữa hai điểm M và M'. Khi đó I là trung điểm của đoạn thẳng MM' (hay M' là điểm đối xứng với M qua điểm I).

1. Nội dung câu hỏi

Cho bát giác đều ABCDEGHK với tâm I. Xác định ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng tâm I.

2. Phương pháp giải:

Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm \(M \ne O\) thành điểm M’ sao cho O  là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu \({Đ_O}\). Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

3. Lời giải chi tiết:

Vì I là tâm của bát giác đều ABCDEGHK nên I là trung điểm của các đoạn thẳng AE, BG, CH, DK. Suy ra ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng tâm I lần lượt là các điểm E, G, H, K.

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(x₁; y₁), N(x₂; y₂). Gọi M', N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng tâm O.

a) Xác định tọa độ của hai điểm M' và N'.

b) Viết công thức tính độ dài hai đoạn thẳng MN và M'N', từ đó so sánh hai đoạn thẳng MN và M'N'.

2. Phương pháp giải:

Nếu \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{D_I}\left( M \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} + {x_M} = 2{x_I}\\{y_{M'}} + {y_M} = 2{y_I}\end{array} \right.\) (I là trung điểm của MM’)

3. Lời giải chi tiết:

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M'(x₁'; y₁') là ảnh của điểm M(x₁; y₁) qua phép đối xứng tâm O, khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}' =  - {x_1}}\\{{y_1}' =  - {y_1}}\end{array}} \right.\)

Do đó, M'(– x₁; – y₁) và N'(– x₂; – y₂).

b) Ta có: 

\(\begin{array}{l}MN = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \\MN = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - \left( {{y_2} - {y_1}} \right)} \right)}^2}} \end{array}\)

Từ đó suy ra MN = M'N'.

1. Nội dung câu hỏi

Xét phép đối xứng tâm I (Hình 20).

a) Xác định các điểm A', B', C' là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép đối xứng tâm I.

b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

2. Phương pháp giải:

Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm \(M \ne O\) thành điểm M’ sao cho O  là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu \({D_O}\). Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

3. Lời giải chi tiết:

a) Ta xác định được các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép đối xứng tâm I như trên hình vẽ dưới đây.

b) Từ hình vẽ ta thấy 3 điểm A', B', C' thẳng hàng và điểm B' nằm giữa hai điểm A' và C'.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(2; 3), bán kính R = 2. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm S(2; 1).

Phương pháp giải:

Tìm ảnh của tâm I qua phép đối xứng tâm S (2;1) bằng cách:

Nếu \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{D_I}\left( M \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} + {x_M} = 2{x_I}\\{y_{M'}} + {y_M} = 2{y_I}\end{array} \right.\) (I là trung điểm của MM’)

Sau đó xác định ảnh của đường tròn (C).

Lời giải chi tiết:

Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm S(2; 1) là một đường tròn có bán kính R' = R = 2, gọi là (C').

Gọi I' là tâm của đường tròn (C'). Khi đó ta có I' là ảnh của điểm I qua phép đối xứng tâm S(2; 1). Suy ra S là trung điểm của II'. Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} = 2{x_S} - {x_I} = 2.2 - 2 = 2}\\{{y_{I'}} = 2{y_S} - {y_I} = 2.1 - 3 =  - 1}\end{array}} \right.\)nên I'(2; – 1).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm S(2; 1) là đường tròn (C') có tâm I'(2;– 1) và bán kính R' = 2. 

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng, cho hình tròn tâm O, kí hiệu là ℋ (Hình 22). Xét phép đối xứng tâm Đ_O. Tìm ℋ' = Đ_O(ℋ).

2. Phương pháp giải:

Tìm ảnh của (H) qua Đ_O bằng cách tìm ảnh của các điểm thuộc (H) qua Đ_O. Sau đó nối chúng lại với nhau.

3. Lời giải chi tiết:

Với mỗi điểm A bất kì thuộc đường tròn tâm O, gọi A' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O. Khi đó O là trung điểm của AA' nên AA' là đường kính của đường tròn tâm O, suy ra A' thuộc đường tròn tâm O.

Như vậy, với mỗi điểm bất kì thuộc đường tròn tâm O, ta đều có ảnh của nó qua phép đối xứng tâm O là một điểm cũng thuộc đường tròn tâm O. Do đó, phép đối xứng tâm O biến đường tròn tâm O thành đường tròn tâm O.

Vậy phép đối xứng tâm O viến hình ℋ thành chính nó hay ℋ ' ≡ ℋ.