Phần câu hỏi bài 8 trang 113 Vở bài tập toán 9 tập 2

Câu 19

Cho một đường tròn bán kính r nội tiếp trong tam giác vuông cân và một đường tròn bán kính R ngoại tiếp tam giác ấy. Khi đó tỉ số \(\dfrac{R}{r}\) bằng:

(A) \(1 + \sqrt 2 \)                    (B) \(2 + \sqrt 2 \)

(C) \(\sqrt 2  - 1\)                     (D) \(\sqrt 2  - 2\)

Phương pháp giải:

+ Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền và suy ra bán kính \(R.\)

Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao ba đường phân giác và suy ra bán kính \(r.\)

+ Sử dụng định lý Pytago và tính chất đường phân giác trong tam giác để biến đổi.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\) Gọi \(D\) là trung điểm \(BC\) và \(E\) là giao điểm đường phân giác \(\widehat {ACB}\) và \(AD.\)

Khi đó \(DA = DB = DC\left( { = \dfrac{1}{2}BC} \right)\)  nên \(D\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và bán kính của nó là \(R = AD\)

Vì \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AD\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác nên \(E\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) và bán kính của nó là \(r = DE.\)

Xét tam giác \(CAD\) có \(CE\) là phân giác góc \(ACD\) nên \(\dfrac{{ED}}{{EA}} = \dfrac{{DC}}{{AC}}\) (tính chất đường phân giác)

Suy ra \(\dfrac{{ED}}{{ED + EA}} = \dfrac{{DC}}{{DC + CA}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ED}}{{AD}} = \dfrac{{DC}}{{DC + CA}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{r}{R} = \dfrac{{DC}}{{DC + CA}}\) (1)

Xét tam giác \(ABC\), theo định lý Pytago ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}\)\(  = \sqrt {A{C^2} + A{C^2}}  = \sqrt {2A{C^2}} \)\( = AC\sqrt 2 \)  (vì \(AB = AC)\) nên \(DC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{AC\sqrt 2 }}{2}\)  suy ra \(\dfrac{{DC}}{{DC + CA}} = \dfrac{{\dfrac{{AC\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{AC\sqrt 2 }}{2} + AC}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{AC\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{AC\sqrt 2  + 2AC}}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 2  + 2}}{2}}}\)\( = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2  + 1}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{r}{R} = \dfrac{1}{{\sqrt 2  + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{R}{r} = \sqrt 2  + 1\)

Chọn A.

Câu 20

Chọn từ thích hợp điền vào chỗ trống trong câu sau:

Trong đa giác đều, tâm…..trùng với tâm……..và được gọi là tâm……

Phương pháp giải:

Ta sử dụng: Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

Lời giải chi tiết:

Trong đa giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm đa giác đều.