Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
1. Nguyên hàm và tính chất
a. Định nghĩa
Kí hiệu \(K\) là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của \(R\).
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(K\).
Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x ∈ K\).
b. Định lý
1) Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(G(x) = F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\).
2) Ngược lại, nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x) + C\) với \(C\) là một hằng số tùy ý.
Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là \(∫f(x)dx\)
Khi đó : \(∫f(x)dx =F(x) + C , C ∈ R.\)
c. Tính chất của nguyên hàm
\(∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.\)
\(∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx \)(với k là hằng số khác 0)
\(∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx\)
d. Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(K\) đều có nguyên hàm trên \(K\).
Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp
2. Phương pháp tìm nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Định lý 1: Nếu \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx} = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C\)
Hệ quả: \(\int {f\left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\left( {a \ne 0} \right)\)
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lý 2: Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(y = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì \(\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx} = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} \).
Chú ý: Viết gọn \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Đề kiểm tra 15 phút
PHẦN GIẢI TÍCH - TOÁN 12
Đề kiểm tra giữa kì 1
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 1 môn Tiếng Anh lớp 12
Bài 26. Cơ cấu ngành công nghiệp