Lý thuyết cấp số cộng

1. Định nghĩa

Dãy số \(u_n\) là một cấp số cộng nếu \(u_{n+1}=u_n+ d\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), \(d\) là hằng số.

\(d =  u_{n+1}-u_n\) được gọi là công sai.

* \(d = 0\): CSC là một dãy số không đổi.

Ví dụ:

Dãy số \(3;6;9;12;15\) là một cấp số cộng vì:

\(\begin{array}{l}6 = 3 + 3\\9 = 6 + 3\\12 = 9 + 3\\15 = 12 + 3\end{array}\)

Đây là CSC có công sai \(d = 3\) và số hạng đầu \({u_1} = 3\).

2. Số hạng tổng quát

Kí hiệu: \(u_n= u_1+ (n – 1)d, (n ≥ 2)\). ( n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1)

Như vậy công sai còn có thể tính bởi công thức: \(d =  \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}\).

Ví dụ:

Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} =  - 1,d = 3\). Tìm \({u_{20}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + \left( {20 - 1} \right)d\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + 19d\\\,\,\,\,\,\,\, =  - 1 + 19.3\\\,\,\,\,\,\,\, = 56\end{array}\)

3. Tính chất

\( u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k ≥ 2\) hay \(u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k\)

Ví dụ:

Cho ba số \(3;x;9\) theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm \(x.\)

Ta có: \(x = \dfrac{{3 + 9}}{2} = 6\).

Vậy \(x = 6\).

4. Tổng \(n\) số hạng đầu

+) Thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng:  \(S_n=  \dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)

+) Thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:

\({S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\)

\({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)

Ví dụ:

Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} =  - 1,d = 3\). Tính \({S_{20}}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + \dfrac{{20.\left( {20 - 1} \right)}}{2}.d\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 20.\left( { - 1} \right) + \dfrac{{20.19}}{2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 550\end{array}\)