Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\), \(x_0\in (a;b)\). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) khi \(x → x_0\) được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại \(x_0\), kí hiệu là \(f'( x_0)\) hay \(y'( x_0)\). Như vậy:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

Nếu đặt \(x - x_0= ∆x\) và \(∆y = f(x_0+∆x) - f(x_0)\) thì ta có

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Đại lượng \(∆x\) được gọi là số gia của đối số tại \(x_0\) và đại lượng \(∆y\) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Với \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0\) ,tính \(∆y = f(x_0+∆x)- f(x_0)\);

Bước 2. Lập tỉ số \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\);

Bước 3. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Nhận xét: nếu thay \(x_0\) bởi \(x\) ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x ∈ (a;b)\).

3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

Định lí. Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì nó liên tục tại \(x_0\)_.

Chú ý.

Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x_0\) thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu tồn tại, \(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\) là

\( y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)\)

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

\(v(t) = s'(t)\) là vận tốc tức thời của chuyển động \(s = s(t)\) tại thời điểm \(t\).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm

Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 4. Vi phân

Bài 5. Đạo hàm cấp hai

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024