Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

1. Hoán vị

Cho \(n\) phần tử khác nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi cách sắp thứ tự của \(n\) phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của \(n\) phần tử khác nhau đã cho (\(n  ≥ 1\)) được kí hiệu là \(P_n\) và bằng:

\(P_n = n(n - 1)(n - 2)...2 . 1 = n!\)

Ví dụ:

Tính số cách xếp \(6\) bạn học sinh thành một hàng dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cách xếp \(6\) bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của \(6\) phần tử.

Vậy số cách xếp \(6\) bạn học sinh thành một hàng dọc là \({P_6} = 6! = 720\).

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\).

Kết quả của việc lấy \(k\) phần tử khác nhau từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho.

Chú ý

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập \(n\) của \(n\) phần tử đó.

Định lí

Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là \(A_n^k\) và bằng

\(A_n^k = n(n – 1)…(n – k + 1) =\frac{n!}{(n - k)!} \) \((1 ≤ k ≤ n)\)

Với quy ước \(0! = 1\).

Ví dụ:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \(4\) chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7\)?

Hướng dẫn:

Mỗi số tự nhiên gồm \(4\) chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy \(4\) chữ số từ tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\) và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.

Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập \(4\) của \(7\) phần tử.

Vậy số các số cần tìm là \(A_7^4 = 840\) số.

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho \(n\) phần tử khác nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp \(n\) phần tử đã cho (\(0 ≤ k ≤ n\)) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập \(0\) của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí

Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là \(C_n^k\) và bằng

\(C_n^k  = \frac{n!}{k! (n - k)!}\) = \(\frac{A^k_{n}}{k!}\), (\(0 ≤ k ≤ n\))

Ví dụ:

Một bàn học sinh có \(3\) nam và \(2\) nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra \(2\) bạn để làm trực nhật?

Hướng dẫn:

Mỗi cách chọn ra \(2\) bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập \(2\) của \(5\) phần tử.

Vậy số cách chọn là: \(C_5^2 = 10\) (cách)

Định lí

Với mọi \(n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n\), ta có:

a) \(C_n^k  =  C_n^{n-k}\)

b) \(C_n^k  +  C_n^{k+1}\) = \(C_{n+1}^{k+1}\).

4. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.