Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

1. Hoán vị

Cho $$ phần tử khác nhau ($$). Mỗi cách sắp thứ tự của $$ phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của $$ phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của $$ phần tử khác nhau đã cho ($$) được kí hiệu là $$ và bằng:

Ví dụ:

Tính số cách xếp $$ bạn học sinh thành một hàng dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cách xếp $$ bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của $$ phần tử.

Vậy số cách xếp $$ bạn học sinh thành một hàng dọc là $$.

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp $$ gồm $$ phần tử $$.

Kết quả của việc lấy $$ phần tử khác nhau từ $$ phần tử của tập hợp $$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $$ của $$ phần tử đã cho.

Chú ý

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập $$ của $$ phần tử đó.

Định lí

Số chỉnh hợp chập $$ của $$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $$ và bằng

Với quy ước $$.

Ví dụ:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $$ chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số $$?

Hướng dẫn:

Mỗi số tự nhiên gồm $$ chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy $$ chữ số từ tập $$ và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.

Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập $$ của $$ phần tử.

Vậy số các số cần tìm là $$ số.

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho $$ phần tử khác nhau ($$). Mỗi tập con gồm $$ phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp $$ phần tử đã cho ($$) được gọi là một tổ hợp chập $$ của $$ phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập $$ của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí

Số các tổ hợp chập $$ của $$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $$ và bằng

$$ = $$, ($$)

Ví dụ:

Một bàn học sinh có $$ nam và $$ nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra $$ bạn để làm trực nhật?

Hướng dẫn:

Mỗi cách chọn ra $$ bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập $$ của $$ phần tử.

Vậy số cách chọn là: $$ (cách)

Định lí

Với mọi $$, ta có:

a) $$

b) $$ = $$.

4. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.