I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
1. Công thức nhị thức Niu - Tơn
Với \(a, b\) là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên \(n ≥ 1\), ta có:
\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... +\)
\(C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}(1)\)
Ví dụ:
Viết khai triển \({\left( {a + b} \right)^5}\).
Hướng dẫn:
Ta có:
\({\left( {a + b} \right)^5}\)
\( = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2}\) \( + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\)
\( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2}\) \( + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^5} + {b^5}\)
2. Quy ước
Với \(a\) là số thực khác \(0\) và \(n\) là số tự nhiên khác \(0\), ta quy ước:
\(a^0 = 1\); \(a^{-n}= {1 \over {{a^n}}}\).
3. Chú ý
Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện \(a\) và \(b\) đều khác \(0\), có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:
\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {{a^k}{b^{n - k}}} } \)
Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.
II. Tam giác Pa-xcan
1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng
2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan
- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng \(1\).
- Xét hai số ở cột \(k\) và cột \(k + 1\), đồng thời cùng thuộc dòng \(n\), (\(k ≥ 0; n ≥1\)), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột \(k + 1\) và dòng \(n + 1\).
3. Tính chất của tam giác Pa-xcan
Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:
a) Giao của dòng \(n\) và cột \(k\) là \(C_n^k\)
b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:
\(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)
c) Các số ở dòng \(n\) là các hệ số trong khai triển của nhị thức \({(a + b)}^n\) (theo công thức nhị thức Niu - Tơn), với \(a, b\) là hai số thực tùy ý.
Chẳng hạn, các số ở dòng \(4\) là các hệ số trong khai triển của \((a + b)^4\) (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:
\({\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)^4} \)\(= {\rm{ }}{a^4} + {\rm{ }}4{a^3}b{\rm{ }} + {\rm{ }}6{a^2}{b^{2}} + {\rm{ }}4a{b^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}{b^4}\)
B - ĐỊA LÍ KHU VỰC VÀ QUỐC GIA
Chủ đề 1. Dao động
PHẦN BA. LỊCH SỬ VIỆT NAM (1858 - 1918)
Bài 5. Kiến thức phổ thông về phòng không nhân dân
Chủ đề 5. Một số cuộc cải cách lớn trong lịch sử Việt Nam (trước năm 1858)
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11