Lý thuyết Những hằng đằng thức đáng nhớ.

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của tổng hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích hai biểu thức đó cộng bình phương biểu thức thứ hai.

\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

\(A,B\) là các biểu thức tùy ý.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của hiệu hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất trừ hai lần tích hai biểu thức đó cộng bình phương biểu thức thứ hai.

\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

\(A,B\) là các biểu thức tùy ý.

3. Hiệu của hai bình phương

Hiệu của bình phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và hiệu hai biểu thức.

\({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

\(A,B\) là các biểu thức tùy ý.

Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi.

Ví dụ:

Rút gọn biểu thức: \(C = {x^2} - 10xy + 25{y^2} - {\left( {x - 5y} \right)^2}\)

Ta có:

\(C={{x}^{2}}-10xy+25{{y}^{2}}-{{\left( x-5y \right)}^{2}}\)\(={{x}^{2}}-2.x.5y+{{\left( 5y \right)}^{2}}-{{\left( x-5y \right)}^{2}}\)\(={{\left( x-5y \right)}^{2}}-{{\left( x-5y \right)}^{2}}=0\)

Dạng 2: Tìm \({\bf{x}}\)

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi để đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp

Ví dụ: Tìm \(x\) biết:  \({\left( {x + 4} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 16\).

Ta có: 

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 4} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.4 + {4^2} - \left( {{x^2} - 1} \right) = 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 16 - {x^2} + 1 = 16\\ \Leftrightarrow 8x = 16 - 16 - 1\\ \Leftrightarrow 8x = - 1\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{8}\end{array}\)