Lý thuyết Số nguyên tố. Hợp số. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

I. Số nguyên tố và hợp số

1. Số nguyên tố

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn \(1,\) chỉ có \(2\) ước là \(1\)  và chính nó.

Ví dụ : Ư\((13) = \{ 13;1\} \) nên \(13\) là số nguyên tố.

Cách kiểm tra 1 số là số nguyên tố:

Để kết luận số a là số nguyên tố \(\left( {a > 1} \right),\)ta làm như sau:

Bước 1: Tìm số nguyên tố lớn nhất \(b\) mà \({b^2} < a\).

Bước 2: Lấy \(a\) chia cho các số nguyên tố từ 2 đến số nguyên tố \(b\), nếu \(a\) không chia hết cho số nào thì \(a\) là số nguyên tố.

2. Hợp số

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1,\) có nhiều hơn \(2\) ước.

Ví dụ: số \(15\) có \(4\) ước là \(1;3;5;15\) nên \(15\) là hợp số.

II. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

1. Cách tìm một ước nguyên tố của một số

Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

Để tìm một ước nguyên tố của \(a\) ta có thể làm như sau:

Bước 1: Chia \(a\) cho các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần \(2,3,5,7,11,13,...\)

Bước 2: Số chia trong phép chia hết đầu tiên là một ước của \(a\)

Ví dụ:

Tìm ước nguyên tố của 91:

Theo các dấu hiệu chia hết cho 2, 3 và 5 thì 91 không chia hết cho 2 , cho 3 và cho 5.

Ta chia 91 cho số nguyên tố tiếp theo:

Ta lấy 91:7=13. Vì thế 7 là một ước nguyên tố của 91.

2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn \(1\)  ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

- Viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ bé đến lớn, tích các thừa số giống nhau dưới dạng lũy thừa.

Sơ đồ cây:

Bước 1: Phân tích số n thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.

Bước 2: Tiếp tục phân tích ước thứ nhất và ước thứ hai thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.

Bước 3: Cứ như vậy đến khi nào xuất hiện số nguyên tố thì dừng lại.

Bước 4: Số n bằng tích của các số cuối cùng của mỗi nhánh.

Sơ đồ cột:

Chia số \(n\) cho một số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn ), rồi chia thương tìm được cho một số nguyên tố (cũng  xét từ nhỏ đến lớn), cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng \(1.\)

Ví dụ: Số \(76\) được phân tích như sau:

Như vậy \(76 = {2^2}.19\)

CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

I. Viết số nguyên tố hoặc hợp số từ những số cho trước

Phương pháp:

+ Căn cứ vào định nghĩa số nguyên tố và hợp số.

+ Căn cứ vào các dấu hiệu chia hết.

+ Có thể dùng bảng số nguyên tố ở cuối sgk để xác định một số (nhỏ hơn 1000) là số nguyên tố hay không.

Ví dụ: 

II. Chứng minh một số là số nguyên tố hay hợp số.

Phương pháp:

+ Để chứng minh một số là số nguyên tố, ta chứng minh số đó không có ước nào khác $1$ và chính nó.

+ Để chững minh một số là hợp số, ta chỉ ra rằng tồn tại một ước của nó khác $1$ và khác chính nó. Nói cách khác, ta chứng minh số đó có nhiều hơn hai ước.

Ví dụ:

a) $5$ là số nguyên tố vì nó chỉ có hai ước là $1$ và $5$.

b) $12$ là hợp số vì nó có nhiều hơn hai ước. Cụ thể 12 có các ước là: $1; 2; 3; 4; 6; 12$

III. Phân tích các số cho trước ra thừa số nguyên tố

Phương pháp:

Ta thường phân tích một số tự nhiên $n\left( {n > 1} \right)$ ra thừa số nguyên tố bằng 2 cách:

+ Sơ đồ cây

+ Phân tích theo hàng dọc.

IV. Ứng dụng phân tích một số ra thừa số nguyên tố để tìm các ước của số đó

Phương pháp:

+ Phân tích số cho trước ra thừa số nguyên tố.

+ Chú ý rằng nếu $c = a.b$  thì $a$  và $b$ là hai ước của $c.$

V. Bài toán đưa về việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phương pháp:

 Phân tích đề bài, đưa về việc tìm ước của một số cho trước bằng cách phân tích số đó ra thừa số nguyên tố.