Lý thuyết Tích của vecto mới một số

I. ĐỊNH NGHĨA

+) Tích của một vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) với một số thực \(k\) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\)

+) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và

 Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\)

 Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\)

II. TÍNH CHẤT

+) Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:

\(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a  =  - \,\overrightarrow a \end{array}\)

III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1. Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của AB \( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

Với M bất kì, \( \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \)

2. Trọng tâm của tam giác:

G là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Với M bất kì \( \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)

3. Điều kiện để hai vecto cùng phương; 3 điểm thẳng hàng

+ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \(\Leftrightarrow \exists k: \overrightarrow a  = k\overrightarrow b .\) 

+ A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} .\)