Lý thuyết véc tơ trong không gian

1. Định nghĩa:

Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu \(\overrightarrow{AB}\) chỉ véctơ có điểm đầu \(A\), điểm cuối \(B\). Véctơ còn đc kí hiệu là \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\),...

2. Các quy tắc về véctơ

- Quy tắc 3 điểm: \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{BC}\).

                 Hoặc: \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{BC}\) + \(\overrightarrow{AB}\).

- Quy tắc hình bình hành: cho hình bình hành \(ABCD\): \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AD}\).

- Quy tắc trung tuyến: \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) thì: \(\overrightarrow{AM}\) = \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).\)

- Quy tắc trọng tâm: \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì: \(\overrightarrow{GA}\) + \(\overrightarrow{GB}\) + \(\overrightarrow{GC}\) = \(\overrightarrow{0}\).

- Quy tắc hình hộp: cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) thì: \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AD}\) + \(\overrightarrow{AA'}\) = \(\overrightarrow{AC'}\).

3. Sự đồng phẳng của các véctơ, điều kiện để ba véctơ đồng phẳng

    Định nghĩa: ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

    Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng:

    Định lí 1: cho ba véctơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\), trong đó véctơ  \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) đồng phẳng là có các số \(m, n\) sao cho \(\overrightarrow{c}\) = \(m\overrightarrow{a}\) + \(n\overrightarrow{b}\). Hơn nữa các số \(m, n\) là duy nhất.

    Định lí 2: nếu \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\),  là ba véctơ không đồng phẳng thì với mỗi véctơ \(\overrightarrow{d}\) ta tìm được các số \(m, n, p\) sao cho \(\overrightarrow{d}\) = \(m\overrightarrow{a}\) + \(n\overrightarrow{b}\) + \(p\overrightarrow{c}\). Hơn nữa các số \(m, n, p\) là duy nhất.