Lý thuyết xác suất và biến cố

1. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử \(A\) là biến cố liên quan đến phép thử \(T\) và phép thử \(T\) có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\) là xác suất của biến cố \(A\), kí hiệu là

\(P(A)\) = \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\)

Trong đó,

+) \(n(A)\) là số phần tử của tập hợp \(A\), cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử \(T\) thuận lợi cho biến cố \(A\);

+) \(n(Ω)\) là số phần tử của không gian mẫu \(Ω\), cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử \(T\).

Ví dụ:

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để mặt xuất hiện là mặt có số chia hết cho \(3\).

Hướng dẫn:

Không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 6\).

Biến cố \(A:\) Mặt xuất hiện có số chia hết cho \(3\).

Khi đó \(A = \left\{ {3;6} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2\).

Vậy xác suất \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

2. Các tính chất cơ bản của xác suất

2.1 Định lí

a) \(P(\phi) = 0; P(Ω) = 1\).

b) \(0 ≤ P(A) ≤ 1\), với mọi biến cố \(A\).

c) Nếu \(A\) và \(B\) xung khắc với nhau, thì ta có

\(P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\) (công thức cộng xác suất).

2.2 Hệ quả

Với mọi biến cố \(A\), ta luôn luôn có: \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(1 - P(A)\).

3. Hai biến cố độc lập

Định nghĩa

Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia).

Định lí

Nếu \(A, B\) là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho \(P(A) > 0\),

\(P(B) > 0\) thì ta có:

a) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:

\(P(A . B) = P(A) . P(B)\)

Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.

b) Nếu \(A\) và \(B\) độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:

\(A\) và \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) và \(B\), \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\).

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất các biến cố sau:

\(A:\) “Lần thứ nhất xuất hiện mặt \(4\) chấm”

\(B:\) “Lần thứ hai xuất hiện mặt \(4\) chấm”

Từ đó suy ra hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập.

Hướng dẫn

Không gian mẫu: \(\Omega  = \left\{ {\left( {i;j} \right),i,j \in \mathbb{Z},1 \le i \le 6,1 \le j \le 6} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 6.6 = 36\).

Biến cố \(A:\) “Lần thứ nhất xuất hiện mặt \(4\) chấm”

\(A = \left\{ {\left( {4;1} \right),\left( {4;2} \right),\left( {4;3} \right),\left( {4;4} \right),\left( {4;5} \right),\left( {4;6} \right)} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Biến cố \(B:\) “Lần thứ hai xuất hiện mặt \(4\) chấm”

\(B = \left\{ {\left( {1;4} \right),\left( {2;4} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4;4} \right),\left( {5;4} \right),\left( {6;4} \right)} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( B \right) = 6\)

\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Gọi \(C = A.B\) là biến cố: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt \(4\) chấm”.

Khi đó \(C = \left\{ {\left( {4;4} \right)} \right\}\)

\( \Rightarrow P\left( {A.B} \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{{36}}\).

Dễ thấy \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\) nên \(A,B\) là hai biến cố độc lập.