$\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx\end{array}$

- Công thức đổi biến:

$\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx} = \int {f\left( t \right)dt} $ $ = F\left( t \right) + C = F\left( {t\left( x \right)} \right) + C$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến $t = u\left( x \right)$.

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, trong đó $u\left( x \right)$ là hàm được chọn thích hợp.

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} $ $ = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C$.

Ví dụ: Tính nguyên hàm $\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} $.

Giải:

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 $ $ \Rightarrow 2tdt = 2xdx$.

Do đó: $\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \int {\sqrt {{x^2} + 1} .2xdx} $ $= \int {t.2tdt} = \int {2{t^2}dt} = \dfrac{2}{3}{t^3} + C $ $= \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} + C$.

Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến $x = u\left( t \right)$.

- Bước 1: Đặt $x = u\left( t \right)$, trong đó $u\left( t \right)$ là hàm số ta chọn thích hợp.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế $dx = u'\left( t \right)dt$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức $\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C$

Ví dụ: Cho nguyên hàm $I = \int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} ,\,\,\,x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$, nếu đặt $x = \sin t$ thì nguyên hàm $I$ tính theo biến $t$ trở thành:

A. $I = t + \sin 2t + C.$

B. $I = \dfrac{t}{2} + \cos 2t + C.$

C. $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

D. $I = \dfrac{t}{2} - \dfrac{{\cos 2t}}{4} + C.$

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

Suy ra

$\begin{array}{l}\int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} = \int {\sqrt {{{\cos }^2}t} \,\cos t\,{\rm{d}}t} = \int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} = \int {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\,{\rm{d}}t} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 2t} \right){\rm{d}}t} = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\end{array}$

(Vì $x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0$ $ \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x} = \cos x$)

Vậy $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

Chọn C.

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp đổi biến trên là:

Fqa.vn

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024