Tổng hợp lí thuyết chương 1

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$, khi đó:

+) $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.

+) $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng $\left(a;b\right)$

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left(a,b\right)$ thì $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(a,b\right)$.

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(a,b\right)$ thì $f^{\prime }\left(x\right)\le 0,\forall x\in \left(a,b\right).$

2. Cực trị của hàm số

Dấu hiệu 1:

+) Nếu  $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ hoặc $f^{\prime }\left(x\right)$ không xác định tại $x_0$ và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.

+) Nếu  $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ hoặc $f^{\prime }\left(x\right)$ không xác định tại $x_0$ và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Dấu hiệu 2:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm đến cấp $2$ tại $x_0$.

+) $x_0$ là điểm cực đại $\iff \{\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ f^{″}\left(x_0\right)<0\end{array}$

+) $x_0$ là điểm cực tiểu $\iff \{\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ f^{″}\left(x_0\right)>0\end{array}$

3. Giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số

Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:

*) Quy tắc chung: (Thường dùng cho $D$ là một khoảng)

- Tính $f^{\prime }\left(x\right)$, giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ tìm nghiệm trên $D.$

- Lập BBT cho hàm số trên $D.$

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.

*) Quy tắc riêng: (Dùng cho $\left[a;b\right]$) . Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $\left[a;b\right]$

- Tính $f^{\prime }\left(x\right)$, giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ tìm nghiệm trên $\left[a,b\right]$.

- Giả sử phương trình có các nghiệm $x_1,x_2,...\in \left[a,b\right]$.

- Tính các giá trị $f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),...$.

- So sánh chúng và kết luận.

4. Tiệm cận của đồ thị hàm số

+) Đường thẳng $x=a$ là TCĐ của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu có một trong các điều kiện sau:

$\underset{x\to a^{+}}{lim}y=+\infty$ hoặc $\underset{x\to a^{+}}{lim}y=-\infty$ hoặc$\underset{x\to a^{-}}{lim}y=+\infty$ hoặc $\underset{x\to a^{-}}{lim}y=-\infty$

+) Đường thẳng $y=b$ là TCN của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu có một trong các điều kiện sau:

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=b$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{lim}y=b$

5. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$

c) Các dạng đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$

+) Tập xác định: $D=R\setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}$

+) Đạo hàm: $y=\frac{ad-bc}{{\left(cx+d\right)}^2}$

- Nếu $ad-bc>0$ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư $2$ và $4.$

- Nếu $ad-bc<0$ hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư $1$ và $3.$

+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: $x=-\frac{d}{c}$ và TCN: $y=\frac{a}{c}$

+) Đồ thị có tâm đối xứng: $I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right)$

6. Sự tương giao của đồ thị hàm số

a) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số

Phương pháp:

Cho $2$ hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ có đồ thị lần lượt là $\left(C\right)$ và $\left(C^{\prime }\right).$  

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của $\left(C\right)$ và $\left(C^{\prime }\right):$$f\left(x\right)=g\left(x\right)(\ast )$

+) Giải phương trình tìm $x$ từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.

+) Số nghiệm của $(\ast )$ là số giao điểm của $\left(C\right)$ và $\left(C^{\prime }\right).$

b) Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng $F\left(x,m\right)=0$ (phương trình ẩn $x$ tham số $m$)

+) Cô lập $m$ đưa phương trình về dạng $m=f\left(x\right)$

+) Lập BBT cho hàm số $y=f\left(x\right)$.

+) Dựa vào giả thiết và BBT từ đó suy ra $m.$

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi $m$ độc lập với $x.$

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm $F\left(x,m\right)=0$

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử $x=x_0$ là $1$ nghiệm của phương trình.

+) Phân tích: $F\left(x,m\right)=0\iff \left(x-x_0\right).g\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=x_0\\ g\left(x\right)=0\end{array}$ ($g\left(x\right)=0$ là phương trình bậc $2$ ẩn $x$ tham số $m$).

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc $2$ $g\left(x\right)=0$.