Trả lời câu hỏi 2 - Mục Vận dụng trang 75 - SGK Toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng $\Delta M N K \backsim \Delta A B H$ và $\frac{M K}{A H}=k$.

2. Phương pháp giải

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Diện tích tam giác vuông bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông.

3. Lời giải chi tiết

Vì tam giác $\Delta M N P \backsim \Delta A B C$ nên $\widehat{B}=\widehat{N}$ (hai góc tương ứng).
Vì $M K$ là đường cao nên $\widehat{M K N}=90^{\circ}$; Vì $A H$ là đường cao nên
$\widehat{A H B}=90^{\circ}$

Xét $\triangle M N K$ và $\triangle A B H$ có:
$\widehat{B}=\widehat{N}$ (chứng minh trên)
$\widehat{M K N}=\widehat{A H B}=90^{\circ}$

Do đó, $\triangle M N K \backsim \Delta A B H$ (g.g)
Vì $\Delta M N K \backsim \triangle A B H$ nên ta có: $\frac{M N}{A B}=\frac{N K}{B H}=\frac{M K}{A H}=k \Rightarrow \frac{M K}{A H}=k$.

1. Nội dung câu hỏi

Gọi $S_1$ là diện tích tam giác $M N P$ và $S_2$ là diện tích tam giác $A B C$. Chứng minh rằng $\frac{S_1}{S_2}=k^2$.

2. Phương pháp giải

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Diện tích tam giác vuông bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông.

3. Lời giải chi tiết

Vì $\Delta M N P \backsim \Delta A B C$ nên $\frac{M N}{A B}=\frac{N P}{B C}=\frac{M P}{A C}=k$
$\Rightarrow \frac{N P}{B C}=k \Leftrightarrow N P=k B C$
Vì $\frac{M K}{A H}=k \Rightarrow M K=k A H$

Diện tích tam giác $M N P$ là:
$S_1=\frac{1}{2} \cdot M K \cdot N P \text { (đvdt) }$

Diện tích tam giác $A B C$ là:
$S_2=\frac{1}{2} \cdot A H \cdot B C \text { (đvdt) }$

Ta có: $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2} \cdot M K \cdot N P}{\frac{1}{2} \cdot A H \cdot B C}=\frac{k A H \cdot k B C}{A H \cdot B C}=k^2$ (điều phải chứng minh)