Giả sử ${u_n}$ là số hạng thứ $n$ của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và ${u_n} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }}$.

a) Chứng tỏ rằng ${u_1} = 1,{u_2} = 1$ và ${u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} + {u_n}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$.

Từ đó suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ đầu tiên.

Tinh $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$.

2. Phương pháp giải

a) Ta có ${u_1} = 1,{u_2} = 1$ và ${u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

Áp dụng hằng đẳng thức ${a^{n + 2}} - {b^{n + 2}} = \left( {{a^{n + 1}} - {b^{n + 1}}} \right)\left( {a + b} \right) - ab\left( {{a^n} - {b^n}} \right)$

Ta có ${u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$ = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$ = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$ = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số Fibonacci.

b) Lập bảng

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
${u_n}$
$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$

Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$

3. Lời giải chi tiết

a) Ta có ${u_1} = 1,{u_2} = 1$ và ${u_{n + 2}} = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 2}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$ = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$ = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số Fibonacci.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
${u_n}$	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$	1	2	1,5	$\frac{5}{3}$	$\frac{8}{5}$	$\frac{{13}}{8}$	$\frac{{21}}{{13}}$	$\frac{{34}}{{21}}$	$\frac{{55}}{{34}}$	$\frac{{89}}{{55}}$	$\frac{{144}}{{89}}$

Ta có $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1} \sqrt{5}}}{\frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}}$
$$
\begin{aligned}
& =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1} \sqrt{5}} \cdot \frac{2^n \sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}\right] \\
& =\lim _{\mathrm{n} \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{2} \cdot \frac{(1+\sqrt{5})^{\mathrm{n}+1}-(1-\sqrt{5})^{\mathrm{n}+1}}{(1+\sqrt{5})^{\mathrm{n}}-(1-\sqrt{5})^{\mathrm{n}}}\right] \\
& =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{2} \cdot \frac{(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})\left(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)^n}{1-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)^n}\right]=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \text {. } \\
&
\end{aligned}
$$
(do $\left|\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right|<1$ nên $\lim _{\mathrm{n} \rightarrow+\infty}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)^{\mathrm{n}}=0$ ).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
\({u_n}\)
\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
\({u_n}\)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)	1	2	1,5	\(\frac{5}{3}\)	\(\frac{8}{5}\)	\(\frac{{13}}{8}\)	\(\frac{{21}}{{13}}\)	\(\frac{{34}}{{21}}\)	\(\frac{{55}}{{34}}\)	\(\frac{{89}}{{55}}\)	\(\frac{{144}}{{89}}\)