Trả lời câu hỏi - Hoạt động khám phá 2 trang 77

1. Nội dung câu hỏi

Cho tứ giác $A B C D$ và điểm $O(O$ không thuộc các đường thẳng $A B$, $\mathrm{BC}, \mathrm{CD}, \mathrm{DA})$. Trên các tia $O A, O B, O C, O D$ lần lượt lấy các điểm $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ sao cho $O A^{\prime}=\frac{1}{2} O A, O B^{\prime}=\frac{1}{2} O B, O C^{\prime}=\frac{1}{2} O C, O D^{\prime}=\frac{1}{2} O D$ (Hình 2).

Tính và so sánh các tỉ số $\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A B} ; \frac{A^{\prime} D^{\prime}}{A D} ; \frac{B^{\prime} C^{\prime}}{B C} ; \frac{C^{\prime} D^{\prime}}{C D}$.

2. Phương pháp giải

- Ta thực hiện các phép tính tỉ số.

- Sử dụng định lí Thales đảo;

- Sử dụng hệ quả của định lí Thales;

3. Lời giải chi tiết

- Vì $O A^{\prime}=\frac{1}{2} O A \Rightarrow \frac{O A^{\prime}}{O A}=\frac{1}{2} ; O B^{\prime}=\frac{1}{2} O B \Rightarrow \frac{O B^{\prime}}{O B}=\frac{1}{2}$.

Xét tam giác $O A B$ có:
$\frac{O A^{\prime}}{O A}=\frac{O B^{\prime}}{O B}=\frac{1}{2}$

Do đó, $A^{\prime} B^{\prime} / / A B$ (định lí Thales đảo)
vì $A^{\prime} B^{\prime} / / A B \Rightarrow \frac{O A^{\prime}}{O A}=\frac{O B^{\prime}}{O B}=\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A B}=\frac{1}{2}$ (hệ quả của định lí Thales)

- Vì $O A^{\prime}=\frac{1}{2} O A \Rightarrow \frac{O A^{\prime}}{O A}=\frac{1}{2} ; O D^{\prime}=\frac{1}{2} O D \Rightarrow \frac{O D^{\prime}}{O D}=\frac{1}{2}$

Xét tam giác $O A D$ có:
$\frac{O A^{\prime}}{O A}=\frac{O D^{\prime}}{O D}=\frac{1}{2}$

Do đó, $A^{\prime} D^{\prime} / / A D$ (định lí Thales đảo)
Vì $A^{\prime} D^{\prime} / / A D \Rightarrow \frac{O A^{\prime}}{O A}=\frac{O D^{\prime}}{O D}=\frac{A^{\prime} D^{\prime}}{A D}=\frac{1}{2}$ (hệ quả của định lí Thales)

- Vì $O B^{\prime}=\frac{1}{2} O B \Rightarrow \frac{O B^{\prime}}{O B}=\frac{1}{2} ; O C^{\prime}=\frac{1}{2} O C \Rightarrow \frac{O C^{\prime}}{O C}=\frac{1}{2}$

Xét tam giác $O B C$ có:
$\frac{O B^{\prime}}{O B}=\frac{O C^{\prime}}{O C}=\frac{1}{2}$

Do đó, $B^{\prime} C^{\prime} / / B C$ (định lí Thales đảo)
vì $B^{\prime} C^{\prime} / / B C \Rightarrow \frac{O B^{\prime}}{O B}=\frac{O C^{\prime}}{O C}=\frac{B^{\prime} C^{\prime}}{B C}=\frac{1}{2}$ (hệ quả của định lí Thales)

- Vì $O D^{\prime}=\frac{1}{2} O D \Rightarrow \frac{O D^{\prime}}{O D}=\frac{1}{2} ; O C^{\prime}=\frac{1}{2} O C \Rightarrow \frac{O C^{\prime}}{O C}=\frac{1}{2}$

Xét tam giác $O D C$ có:
$\frac{O D^{\prime}}{O D}=\frac{O C^{\prime}}{O C}=\frac{1}{2}$

Do đó, $D^{\prime} C^{\prime} / / D C$ (định lí Thales đảo)
vi $D^{\prime} C^{\prime} / / D C \Rightarrow \frac{O D^{\prime}}{O D}=\frac{O C^{\prime}}{O C}=\frac{D^{\prime} C^{\prime}}{D C}=\frac{1}{2}$ (hệ quả của định lí Thales)
Do đó, $\frac{B^{\prime} C^{\prime}}{B C}=\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A B}=\frac{C^{\prime} D^{\prime}}{C D}=\frac{A^{\prime} D^{\prime}}{A D}$.