Trả lời câu hỏi - Hoạt động khám phá 3 trang 82

1. Nội dung câu hỏi

Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho.

2. Phương pháp giải

Điều kiện để hàm số có nghĩa là mẫu khác 0 và biểu thức trong căn không âm.

3. Lời giải chi tiết

$ y=f(x)=\frac{1}{x-1}$
ĐКХÐ: $x-1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$
Vậy hàm số có tập xác định: $D=\mathbb{R} \backslash\{1\}$.
$y=g(x)=\sqrt{4-x}$
ĐКХĐ: $4-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 4$
Vậy hàm số có tập xác định: $D=(-\infty ; 4]$.

1. Nội dung câu hỏi

Mỗi hàm số trên liên tục trên những khoảng nào? Giải thích.

2. Phương pháp giải

Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

3. Lời giải chi tiết

- Với mọi $x_0 \in(-\infty ; 1)$, ta có:
$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{1}{x-1}=\frac{\lim _{x \rightarrow x_0} 1}{\lim _{x \rightarrow x_0} x-\lim _{x \rightarrow x_0} 1}=\frac{1}{x_0-1}=f\left(x_0\right)
$
Vậy hàm số $y=f(x)$ liên tục tại mọi điểm $x_0 \in(-\infty ; 1)$.
Tương tự ta có hàm số $y=f(x)$ liên tục tại mọi điểm $x_0 \in(1 ;+\infty)$.
Ta có: Hàm số không xác định tại điểm $x_0=1$
$
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{x-1}=+\infty ; \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{x-1}=-\infty
$
Vì $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)$ nên không tồn tại $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$.
Vậy hàm số $y=f(x)$ không liên tục tại điểm $x_0=1$.

- Với mọi $x_0 \in(-\infty ; 4)$, ta có:
$
\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{4-x}=\sqrt{\lim _{x \rightarrow x_0} 4-\lim _{x \rightarrow x_0} x}=\sqrt{4-x_0}=g\left(x_0\right)
$
Vậy hàm số $y=g(x)$ liên tục tại mọi điểm $x_0 \in(-\infty ; 4)$.
Ta có: $g(4)=\sqrt{4-4}=0$
$
\lim _{x \rightarrow 4^{-}} g(x)=\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \sqrt{4-x}=\sqrt{\lim _{x \rightarrow 4^{-}} 4-\lim _{x \rightarrow 4^{-}} x}=\sqrt{4-4}=0=g(4)
$
Vậy hàm số $y=g(x)$ liên tục tại điểm $x_0=4$.
Hàm số không xác định tại mọi $x_0 \in(4 ;+\infty)$ nên hàm số $y=g(x)$ không liên tục tại mọi điểm $x_0 \in(4 ;+\infty)$.
Vậy hàm số $y=g(x)$ liên tục trên nửa khoảng $(-\infty ; 4]$.