Cho hình bình hành ABCD có điểm E thuộc cạnh BC , điểm G thuộc cạnh AB và AE = CG . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AE , K là chân đường vuông góc kẻ từ D đến CG . So sánh độ dài DH và DK

Để giải quyết bài toán này, ta cần vẽ hình và sử dụng các định lý hình học. Đầu tiên, ta vẽ hình bình hành ABCD và vẽ các đường thẳng DH và DK như sau:  Ta cần chứng minh rằng DH = DK. Để làm được điều này, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông. Ta có: - Tam giác AHE vuông tại H: AH^2 + HE^2 = AE^2 - Tam giác CDK vuông tại K: CK^2 + KD^2 = CD^2 Vì AE = CG và ABCD là hình bình hành nên ta có: - AE = CG = BD/2 - AH = BD - BE - CK = AB - BG Thay các giá trị này vào hai phương trình trên, ta được: - (BD - BE)^2 + HE^2 = (BD/2)^2 - (AB - BG)^2 + KD^2 = (BD/2)^2 Mở rộng và rút gọn các phương trình trên, ta được: - 3BD^2/4 - BD.BE + BE^2 + HE^2 = 0 - 3BD^2/4 - BD.AB + AB^2 - BG^2 + KD^2 = 0 Từ hai phương trình trên, ta suy ra: - BD.BE - BE^2 - HE^2 = BD.AB - AB^2 + BG^2 - KD^2 - BE(BD - BE) - HE^2 = AB(BD - AB) + BG^2 - KD^2 - BE.CE - HE^2 = AB.CB - KD^2 Vì CE = CB - BE nên ta có: - BE.(CB - BE) - HE^2 = AB.CB - KD^2 - BE.CB - BE^2 - HE^2 = AB.CB - KD^2 - BE^2 + KD^2 = AB.CB - BE.CB - BE^2 + KD^2 = CB.(AB - BE) - BE^2 + KD^2 = CB.AE Như vậy, ta đã chứng minh được rằng DH = DK vì DH^2 = DE^2 + EH^2 và DK^2 = DC^2 + CK^2, và từ phương trình trên ta có DE = DC và EH = KD.