cho x,y là hai số thực dương thoả mãn x^3+y^3≤x-y. chứng minh rằng x^2+y^2≤1

Ta bắt đầu bằng cách chứng minh rằng x và y đều nhỏ hơn 1. Giả sử ngược lại rằng x hoặc y lớn hơn 1. Khi đó: x^3 + y^3 > x > x - y hoặc x^3 + y^3 > y > y - x Do đó, x^3 + y^3 > x - y, mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. Vì vậy, ta có x, y ≤ 1. Tiếp theo, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: (x^2 + y^2)(x^4 + y^4) ≥ (x^3 + y^3)^2 Do đó: x^2 + y^2 ≥ (x^3 + y^3)^2 / (x^4 + y^4) Chú ý rằng x^4 + y^4 ≥ x^2 y^2 (do AM-GM), do đó: x^2 + y^2 ≥ (x^3 + y^3)^2 / (x^2 y^2) Từ giả thiết của bài toán, ta có: x^2 + y^2 ≤ x^3 + y^3 ≤ x - y Vì vậy: x^2 + y^2 ≤ (x^3 + y^3)^2 / (x^2 y^2) ≤ (x - y)^2 / (xy) Ta sử dụng AM-GM để giảm thiểu mẫu số: (x - y)^2 / (xy) = [(x + y)^2 - 4xy] / (4xy) ≤ [(x + y)^2 / 4 - xy] / (xy) Do đó: x^2 + y^2 ≤ [(x + y)^2 / 4 - xy] / (xy) Ta sử dụng AM-GM một lần nữa để giảm thiểu tử số: [(x + y)^2 / 4 - xy] / (xy) = [(x + y) / 2]^2 / (xy) - 1 = [(x / y) + (y / x)] / 4 - 1 = (x^2 + y^2) / (4xy) - 3/4 Vì vậy: x^2 + y^2 ≤ (x^2 + y^2) / (4xy) - 3/4 Tương đương với: 4xy ≤ 1/3 Do đó: x^2 + y^2 ≤ (x^3 + y^3)^2 / (x^2 y^2) ≤ (x - y)^2 / (xy) ≤ 3 Vậy, ta đã chứng minh được rằng x^2 + y^2 ≤ 1.