câu 2: cho tam giác ABC lấy điểm M trên BC và điểm N trên AC sao cho: MC= 2BM, NA= 2CN.Gọi E là giao điểm của AM và BN. Cho diện tích tam giác ABC bằng 420cm². Tính diện tích tam giác AEN

Câu 1: Gọi đáy của tam giác là AB và độ dài đáy là c. Diện tích tam giác là S. Ta có công thức tính diện tích tam giác: S = 1/2 * AB * h, trong đó h là chiều cao của tam giác. Vì các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích nên ta có: S = 1/2 * AB * h = 1/2 * AB * h' (với h' là chiều cao của các tam giác khác). Do đó, ta có h = h'. Giả sử tam giác ABC là tam giác cân tại A, ta có AM = MC = x và BM = BN = y. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC, ta có: AC² = AB² - BC² => AC² = AB² - (2x + 2y)² => AC² = AB² - 4(x² + y² + 2xy) Tương tự, ta có: BC² = AB² - 4(x² + y² - 2xy) Do đó, diện tích tam giác ABC là: S = 1/2 * AB * sqrt(AC² - BC²)/2 = 1/4 * AB * sqrt(4x² + 4y² + 8xy) = 1/4 * AB * 2(x + y) = 1/2 * AB * (x + y) Vậy diện tích tam giác ABC chỉ phụ thuộc vào độ dài đáy AB và tổng độ dài hai cạnh bên AM và BM. Ta có: x + y = AB/2 (vì tam giác ABC là tam giác cân tại A) Do đó, diện tích tam giác ABC là S = 1/4 * AB². Vậy để diện tích tam giác cân là lớn nhất thì ta cần chọn đáy AB là đoạn thẳng có độ dài lớn nhất. Câu 2: Gọi diện tích tam giác AEN là S1, diện tích tam giác AME là S2 và diện tích tam giác BNE là S3. Ta có: S1 + S2 + S3 = S (diện tích tam giác ABC) Vì MC = 2BM và NA = 2CN nên ta có: S2 = 1/2 * AM * ME = 1/2 * BM * ME = 1/4 * BC * ME S3 = 1/2 * BN * NE = 1/2 * CN * NE = 1/4 * AC * NE Do đó, S2 + S3 = 1/4 * (BC * ME + AC * NE) Ta có: ME/EN = BM/BN = 2 => ME = 2NE Do đó, S2 + S3 = 1/4 * (BC * 2NE + AC * NE) = 3/4 * AB * NE Vậy S1 = S - S2 - S3 = 1/4 * AB * (4NE - 3AE) Ta có: AE/AM = NE/NB = 1/2 => AE = 1/3 * AM và NE = 1/3 * NB Do đó, S1 = 1/4 * AB * (4/3 * NB - 1/3 * AM) = 1/3 * AB * NB Từ đó, ta tính được tỉ số AE/AM: AE/AM = 1/3 * AM/AM = 1/3