cho ΔABC, lấy điểm M trên BC và điểm N trên AC sao cho: MC= 2BM, NA= 2CN. Gọi E là giao điểm của AM và BN . Cho diện tích ΔABC bằng 420cm². Tính diện tích tam giác AEN và tỉ số AE÷AM

Để tính diện tích tam giác AEN, ta cần biết độ dài đoạn thẳng AE và EN. Ta sẽ sử dụng các tỉ lệ đề cho để tính toán. Gọi x = BM và y = CN. Khi đó, ta có: MC = 2BM = 2x NA = 2CN = 2y Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng AMN, ta có: $\frac{BN}{NA} \cdot \frac{AM}{MC} \cdot \frac{CE}{EB} = 1$ Thay giá trị vào, ta được: $\frac{BN}{2y} \cdot \frac{x}{2x} \cdot \frac{CE}{EB} = 1$ Simplifying this expression, we get: $\frac{BN}{y} \cdot \frac{CE}{EB} = 1$ Do đó, ta có: $\frac{CE}{EB} = \frac{y}{BN}$ Vì E là giao điểm của AM và BN, nên ta có: $\frac{CE}{EB} = \frac{AM}{MB}$ Từ hai công thức trên, ta suy ra: $\frac{y}{BN} = \frac{AM}{MB}$ Do đó, ta có: $\frac{AM}{y} = \frac{MB}{BN}$ Áp dụng định lí diện tích của tam giác, ta có: $\frac{S_{AEN}}{S_{ABC}} = \frac{AE}{AC} \cdot \frac{EN}{NB}$ Từ đó, ta suy ra: $\frac{S_{AEN}}{420} = \frac{AM}{2y} \cdot \frac{y}{BN}$ Thay giá trị vào, ta được: $\frac{S_{AEN}}{420} = \frac{AM}{2y} \cdot \frac{y}{BN} = \frac{MB}{BN} \cdot \frac{AM}{y} = 1$ Vậy diện tích tam giác AEN bằng 420/1 = 420 cm². Để tính tỉ số AE/AM, ta sử dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng AME, ta có: $\frac{BN}{NA} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{MC}{BM} = 1$ Thay giá trị vào, ta được: $\frac{BN}{2y} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{2x}{x} = 1$ Simplifying this expression, we get: $\frac{BN}{y} \cdot \frac{AE}{EC} = 1$ Do đó, ta có: $\frac{AE}{EC} = \frac{y}{BN}$ Từ hai công thức trên, ta suy ra: $\frac{AE}{y} = \frac{EC}{BN}$ Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng BNE, ta có: $\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BN}{NA} = 1$ Thay giá trị vào, ta được: $\frac{x}{2x} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BN}{2y} = 1$ Simplifying this expression, we get: $\frac{CE}{EB} \cdot \frac{BN}{y} = 1$ Do đó, ta có: $\frac{CE}{EB} = \frac{y}{BN}$ Từ hai công thức trên, ta suy ra: $\frac{AE}{y} = \frac{EC}{BN} = \frac{CE}{BN} - 1 = \frac{y}{BN} - 1$ Do đó, ta có: $\frac{AE}{y} + 1 = \frac{y}{BN}$ Từ đó, ta suy ra: $\frac{AE}{y} = \frac{y}{BN} - 1$ Do đó: $\frac{AE}{y} = \frac{2y}{3y} - 1 = \frac