Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, ta cần phải kiểm tra tính liên tục và tính khả vi của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
Đối với $x \geq 0$, ta có:
$f(x) = \frac{x^2+x+1}{x+1}$
Đạo hàm của $f(x)$ trên $x \geq 0$ là:
$f'(x) = \frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x}{(x+1)^2}$
Vậy $f(x)$ có đạo hàm trên $x \geq 0$.
Đối với $x < 0$, ta có:
$f(x) = x^2 + ax + b$
Đạo hàm của $f(x)$ trên $x < 0$ là:
$f'(x) = 2x + a$
Vậy $f(x)$ có đạo hàm trên $x < 0$ khi và chỉ khi $a$ có giá trị xác định.
Để $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, ta cần $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, tức là $f(0) = \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$. Ta có:
$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (x^2 + ax + b) = b$
$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x^2+x+1}{x+1} = 1$
Vậy ta cần $a$ và $b$ sao cho $b=1$.
Từ đó, ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} a+b=1 \\ a-b=10 \end{cases}$
Giải hệ phương trình này, ta được $a=0$ và $b=1$.
Vậy đáp án là $\boxed{\textbf{(D) }a=0,b=1}$.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.