Cứu

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng các bước sau: Bước 1: Rút gọn các biểu thức trong phân số. \begin{align*} \frac{1}{6}\frac{x^{3}-1}{(x^{2}+1)^{3}}\frac{x^{4}-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}} &= \frac{1}{6}\cdot\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x^{2}+1)^{3}}\cdot\frac{x^{3}(x-2)}{(x^{2}+1)^{2}} \\ &= \frac{1}{6}\cdot\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)x^{3}(x-2)}{(x^{2}+1)^{5}} \end{align*} Bước 2: Phân tích các thừa số của mẫu số. Ta thấy rằng $(x^{2}+1)^{5}$ là tích của các thừa số $(x^{2}+1)$, do đó ta có thể phân tích phân số thành tổng các phân số nhỏ hơn với mẫu số chứa từng thừa số $(x^{2}+1)$. \begin{align*} \frac{1}{6}\cdot\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)x^{3}(x-2)}{(x^{2}+1)^{5}} &= \frac{A}{x^{2}+1} + \frac{B}{(x^{2}+1)^{2}} + \frac{C}{(x^{2}+1)^{3}} + \frac{D}{(x^{2}+1)^{4}} + \frac{E}{(x^{2}+1)^{5}} \\ &= \frac{A(x^{2}+1)^{4} + B(x^{2}+1)^{3} + C(x^{2}+1)^{2} + D(x^{2}+1) + E}{(x^{2}+1)^{5}} \end{align*} Bước 3: Tìm các hệ số $A, B, C, D, E$. Nhân cả hai vế của phương trình bằng $(x^{2}+1)^{5}$, ta được: \begin{align*} \frac{(x-1)(x^{2}+x+1)x^{3}(x-2)}{6} &= A(x^{2}+1)^{4} + B(x^{2}+1)^{3} + C(x^{2}+1)^{2} + D(x^{2}+1) + E \\ &= (Ax^{8} + 4Ax^{6} + 6Ax^{4} + 4Ax^{2} + A) + (Bx^{6} + 3Bx^{4} + 3Bx^{2} + B) \\ &\quad + (Cx^{4} + 2Cx^{2} + C) + (Dx^{2} + D) + E \end{align*} So sánh hệ số của cùng một bậc của $x$ ở hai vế, ta có hệ phương trình sau: \begin{align*} A &= 0 \\ 4A + B &= 0 \\ 6A + 3B + C &= 0 \\ 4A + 3B + 2C + D &= \frac{-1}{6} \\ A + B + C + D + E &= 0 \end{align*} Từ đó, ta suy ra $A = 0$, $B = 0$, $C = 0$, $D = \frac{-1}{6}$ và $E = \frac{1}{6}$. Bước 4: Viết lại phân số ban đầu dưới dạng tổng các phân số nhỏ hơn. Áp dụng kết quả tìm được ở bước 3, ta có: \begin{align*} \frac{1}{6}\cdot\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)x^{3}(x