cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, AA' vuông góc với đáy và AA'=a. Tính góc giữa (ABC') và (BCA') Giải hộ mình câu này với các bạn

Để giải bài toán này, ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng \((ABC')\) và \((BCA')\) của lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Bước 1: Xác định các mặt phẳng và các đường thẳng giao nhau - Mặt phẳng \((ABC')\) chứa các điểm \(A\), \(B\), \(C'\). - Mặt phẳng \((BCA')\) chứa các điểm \(B\), \(C\), \(A'\). Hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \(BC\). Bước 2: Tìm các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC')\) có thể được xác định bằng tích có hướng của hai vectơ nằm trong mặt phẳng đó. Chọn hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC'}\). \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (a, 0, 0) \] \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{C'} - \overrightarrow{A} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a\right) \] Tích có hướng: \[ \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC'} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & a \end{vmatrix} = (0, -a^2, \frac{a^2\sqrt{3}}{2}) \] - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((BCA')\) có thể được xác định bằng tích có hướng của hai vectơ nằm trong mặt phẳng đó. Chọn hai vectơ \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{BA'}\). \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) \] \[ \overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{A'} - \overrightarrow{B} = (0, 0, a) \] Tích có hướng: \[ \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BA'} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} = \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}, \frac{a^2}{2}, 0\right) \] Bước 3: Tính góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bởi góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Công thức tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) là: \[ \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + (-a^2) \cdot \frac{a^2}{2} + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = -\frac{a^4}{2} \] Độ dài của các vectơ: \[ |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{0^2 + (-a^2)^2 + \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^4 + \frac{3a^4}{4}} = \sqrt{\frac{7a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{7}}{2} \] \[ |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3a^4}{4} + \frac{a^4}{4}} = \sqrt{a^4} = a^2 \] Tính \(\cos \theta\): \[ \cos \theta = \frac{\left|-\frac{a^4}{2}\right|}{\frac{a^2\sqrt{7}}{2} \cdot a^2} = \frac{\frac{a^4}{2}}{\frac{a^4\sqrt{7}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \] Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((ABC')\) và \((BCA')\) là \(\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)\).