giải đề cương

Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét vị trí của các điểm M và N trong tứ diện ABCD. 1. Xác định trọng tâm M của tam giác ABC: - Trọng tâm M của tam giác ABC là điểm nằm trên đoạn nối từ mỗi đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện, và chia đoạn đó theo tỉ lệ 2:1. Do đó, M là điểm thỏa mãn: \[ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] với O là gốc tọa độ. 2. Xác định trọng tâm N của tam giác ABD: - Tương tự, trọng tâm N của tam giác ABD là điểm thỏa mãn: \[ \overrightarrow{ON} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) \] 3. Xét đường thẳng MN: - Đường thẳng MN có phương trình vector là: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) - \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] - Tính toán: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}) \] 4. Xác định mặt phẳng song song: - Đường thẳng MN có vector chỉ phương là \(\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\), điều này cho thấy MN song song với vector \(\overrightarrow{CD}\). - Mặt phẳng (BCD) chứa vector \(\overrightarrow{CD}\), do đó đường thẳng MN song song với mặt phẳng (BCD). Vậy, đường thẳng MN song song với mặt phẳng (BCD). Đáp án đúng là C. (BCD). Câu 12: Để tính giới hạn \(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x-2} - 2}{x^2 - 4}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Nhận dạng dạng vô định: Khi \(x \to 2\), cả tử số và mẫu số đều tiến về 0, do đó giới hạn có dạng \(\frac{0}{0}\). 2. Nhân lượng liên hợp: Ta nhân cả tử số và mẫu số với lượng liên hợp của tử số, tức là \(\sqrt{3x-2} + 2\): \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x-2} - 2}{x^2 - 4} \cdot \frac{\sqrt{3x-2} + 2}{\sqrt{3x-2} + 2} \] 3. Rút gọn biểu thức: Tử số trở thành: \[ (\sqrt{3x-2} - 2)(\sqrt{3x-2} + 2) = (3x-2) - 4 = 3x - 6 \] Mẫu số vẫn là \(x^2 - 4\), nhưng ta có thể viết lại dưới dạng: \[ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \] Do đó, giới hạn trở thành: \[ \lim_{x \to 2} \frac{3x - 6}{(x-2)(x+2)(\sqrt{3x-2} + 2)} \] 4. Rút gọn tiếp: Ta thấy \(3x - 6 = 3(x - 2)\), nên giới hạn trở thành: \[ \lim_{x \to 2} \frac{3(x - 2)}{(x-2)(x+2)(\sqrt{3x-2} + 2)} \] Rút gọn \(x - 2\) ở tử số và mẫu số: \[ \lim_{x \to 2} \frac{3}{(x+2)(\sqrt{3x-2} + 2)} \] 5. Thay giá trị \(x = 2\): Thay \(x = 2\) vào biểu thức đã rút gọn: \[ \frac{3}{(2+2)(\sqrt{3(2)-2} + 2)} = \frac{3}{4(\sqrt{4} + 2)} = \frac{3}{4(2 + 2)} = \frac{3}{4 \cdot 4} = \frac{3}{16} \] Vậy giá trị của giới hạn là: \[ \boxed{\frac{3}{16}} \] Câu 1: Để giải quyết các bài toán liên quan đến giới hạn của hàm số đã cho, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần yêu cầu. Phần a) Giới hạn \(\lim_{x \to 2} f(x) = 10\) Hàm số \(f(x)\) khi \(x < 3\) là: \[ f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} \] Ta cần tính giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến 2: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} \] Phân tích tử số: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 2} (x - 2) = 2 - 2 = 0 \] Như vậy, phần a) không đúng vì giới hạn thực tế là 0, không phải 10. Phần b) Giới hạn \(\lim_{x \to 3^-} f(x) = 1\) Hàm số \(f(x)\) khi \(x < 3\) là: \[ f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} \] Ta cần tính giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến 3 từ phía trái: \[ \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} \] Phân tích tử số: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 3^-} \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} (x - 2) = 3 - 2 = 1 \] Như vậy, phần b) đúng vì giới hạn thực tế là 1. Phần c) Khi \(a = 3\) thì \(\lim_{x \to 3^+} f(x) = -3\) Hàm số \(f(x)\) khi \(x \geq 3\) là: \[ f(x) = a^2 - 2ax + 6 \] Thay \(a = 3\): \[ f(x) = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 6 = 9 - 6x + 6 = 15 - 6x \] Ta cần tính giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến 3 từ phía phải: \[ \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (15 - 6x) = 15 - 6 \cdot 3 = 15 - 18 = -3 \] Như vậy, phần c) đúng vì giới hạn thực tế là -3. Phần d) Có 2 giá trị của \(a\) để hàm số tồn tại giới hạn khi \(x \to 3\) Hàm số \(f(x)\) khi \(x \geq 3\) là: \[ f(x) = a^2 - 2ax + 6 \] Để hàm số tồn tại giới hạn khi \(x \to 3\), giới hạn từ phía trái và phía phải phải bằng nhau: \[ \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) \] Từ phần b), ta biết: \[ \lim_{x \to 3^-} f(x) = 1 \] Từ phần c), ta biết: \[ \lim_{x \to 3^+} f(x) = a^2 - 6a + 6 \] Do đó: \[ 1 = a^2 - 6a + 6 \] \[ a^2 - 6a + 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ a^2 - 6a + 5 = 0 \] \[ (a - 1)(a - 5) = 0 \] Như vậy, \(a = 1\) hoặc \(a = 5\). Như vậy, phần d) đúng vì có 2 giá trị của \(a\) là 1 và 5. Kết luận Các khẳng định đúng là: b) Giới hạn \(\lim_{x \to 3^-} f(x) = 1\) c) Khi \(a = 3\) thì \(\lim_{x \to 3^+} f(x) = -3\) d) Có 2 giá trị của \(a\) để hàm số tồn tại giới hạn khi \(x \to 3\). Câu 2: Để xét tính đúng - sai của các mệnh đề, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Mệnh đề a: Đường thẳng SA là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAC). - Mặt phẳng (SAB) chứa các điểm S, A, B. - Mặt phẳng (SAC) chứa các điểm S, A, C. - Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) có điểm chung là đường thẳng SA (vì SA nằm trong cả hai mặt phẳng này). Kết luận: Mệnh đề a đúng. b) Mệnh đề b: Hai đường thẳng MP và SC cắt nhau. - M là trung điểm của SB, P là trung điểm của SD, do đó MP là đường trung bình của tam giác SBD và song song với BD. - SC là đường thẳng nối từ S đến C. - Vì MP song song với BD và BD không cắt SC (vì SC không nằm trong mặt phẳng (SBD)), nên MP cũng không cắt SC. Kết luận: Mệnh đề b sai. c) Mệnh đề c: Giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng đi qua N và song song với đường thẳng BD. - Mặt phẳng (MNP) chứa các điểm M, N, P. - Mặt phẳng (ABCD) là mặt phẳng đáy của hình chóp. - N là trung điểm của BC, do đó N nằm trên mặt phẳng (ABCD). - MP song song với BD (vì MP là đường trung bình của tam giác SBD). - Do đó, giao tuyến của (MNP) và (ABCD) là đường thẳng đi qua N và song song với BD. Kết luận: Mệnh đề c đúng. d) Mệnh đề d: Biết rằng đường thẳng SA cắt mặt phẳng (MNP) tại điểm K, khi đó $\frac{SK}{SA}=\frac14$. - Để SA cắt (MNP) tại K, K phải nằm trên SA và trong mặt phẳng (MNP). - Vì M, N, P là trung điểm của các cạnh SB, BC, SD, nên (MNP) là mặt phẳng trung bình của hình chóp S.ABCD. - Nếu SA cắt (MNP) tại K và $\frac{SK}{SA}=\frac14$, điều này có nghĩa là K chia SA theo tỉ lệ 1:4, tức là K nằm trên đoạn SA và cách S một khoảng bằng $\frac{1}{4}$ độ dài của SA. Kết luận: Mệnh đề d đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a đúng. - Mệnh đề b sai. - Mệnh đề c đúng. - Mệnh đề d đúng. Câu 1: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 = 2 \), ta cần đảm bảo rằng giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 bằng giá trị của \( f(2) \). Trước tiên, ta xét phần đầu của hàm số: \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \quad \text{khi} \quad x \neq 2 \] Ta có thể rút gọn biểu thức này: \[ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \quad \text{với} \quad x \neq 2 \] Do đó, khi \( x \) tiến đến 2, ta có: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \] Tiếp theo, ta xét phần thứ hai của hàm số: \[ f(x) = m - 3x \quad \text{khi} \quad x = 2 \] Tại \( x = 2 \), giá trị của hàm số là: \[ f(2) = m - 3(2) = m - 6 \] Để hàm số liên tục tại \( x = 2 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \] \[ 4 = m - 6 \] Giải phương trình này để tìm \( m \): \[ 4 = m - 6 \] \[ m = 4 + 6 \] \[ m = 10 \] Vậy giá trị của tham số \( m \) là 10. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm \(N\) và song song với hai cạnh \(AB\) và \(AD\). Bước 1: Xác định vị trí của điểm \(N\) Điểm \(N\) nằm trên cạnh \(SB\) sao cho \(3SN = 2SB\). Điều này có nghĩa là: \[ \frac{SN}{SB} = \frac{2}{3} \] Do đó, \(N\) chia đoạn \(SB\) theo tỉ lệ \(2:1\). Bước 2: Xác định mặt phẳng \((\alpha)\) Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(N\) và song song với \(AB\) và \(AD\). Do đó, thiết diện của mặt phẳng \((\alpha)\) với hình chóp S.ABCD sẽ là một hình vuông nhỏ hơn và đồng dạng với đáy \(ABCD\). Bước 3: Tính tỉ lệ đồng dạng Vì mặt phẳng \((\alpha)\) song song với đáy \(ABCD\) và đi qua điểm \(N\) trên cạnh \(SB\), nên thiết diện là một hình vuông có cạnh tỉ lệ với cạnh của đáy \(ABCD\). Tỉ lệ này chính là tỉ lệ của \(SN\) so với \(SB\), tức là \(\frac{2}{3}\). Bước 4: Tính diện tích thiết diện Diện tích của đáy \(ABCD\) là: \[ S_{ABCD} = 10 \times 10 = 100 \] Do thiết diện là một hình vuông đồng dạng với đáy và có tỉ lệ cạnh là \(\frac{2}{3}\), diện tích của thiết diện là: \[ S = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times 100 = \frac{4}{9} \times 100 = \frac{400}{9} \] Bước 5: Tính giá trị \(P\) Diện tích của thiết diện là \(\frac{400}{9}\), do đó \(a = 400\) và \(b = 9\). Vậy: \[ P = a + b + 1 = 400 + 9 + 1 = 410 \] Vậy, giá trị của \(P\) là \(410\). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm tỉ số $\frac{BI}{BC}$, trong đó $I$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SBC)$. Bước 1: Xác định vị trí của điểm M và N - Vì M là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$. - Vì N là trung điểm của AD, nên $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{ND}$. Bước 2: Xác định đường thẳng MN - Đường thẳng MN là đường trung bình của tam giác ABD, do đó MN song song với BD và $MN = \frac{1}{2}BD$. Bước 3: Xác định mặt phẳng (SBC) - Mặt phẳng (SBC) chứa các điểm S, B, C. Bước 4: Tìm giao điểm I của MN và mặt phẳng (SBC) - Do MN song song với BD và BD nằm trong mặt phẳng (ABCD), mà (ABCD) là hình bình hành nên BD song song với AC. - Vì MN song song với BD, mà BD song song với AC, nên MN song song với AC. - Do đó, MN cắt mặt phẳng (SBC) tại một điểm I nào đó. Bước 5: Tính tỉ số $\frac{BI}{BC}$ - Vì MN là đường trung bình của tam giác ABD, nên MN song song với BD và $MN = \frac{1}{2}BD$. - Trong tam giác SBC, đường thẳng MN song song với BC (vì MN song song với BD và BD song song với AC, mà AC song song với BC trong hình bình hành ABCD). - Do đó, theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có $BI = \frac{1}{2}BC$. Vậy tỉ số $\frac{BI}{BC} = \frac{1}{2}$. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần xác định số lượng khúc gỗ trong mỗi hàng và sau đó tính tổng số khúc gỗ. 1. Xác định số khúc gỗ trong mỗi hàng: - Theo đề bài, hàng trên cùng có 1 khúc gỗ. - Mỗi hàng nằm liền phía dưới có nhiều hơn hàng phía trên 1 khúc gỗ. Do đó, số khúc gỗ trong các hàng từ trên xuống dưới sẽ là: - Hàng thứ 1 (trên cùng): 1 khúc gỗ - Hàng thứ 2: 2 khúc gỗ - Hàng thứ 3: 3 khúc gỗ - ... - Hàng thứ 10: 10 khúc gỗ 2. Tính tổng số khúc gỗ: Tổng số khúc gỗ là tổng của dãy số từ 1 đến 10. Ta có công thức tính tổng của dãy số tự nhiên từ 1 đến \( n \) là: \[ S = \frac{n(n+1)}{2} \] Ở đây, \( n = 10 \). Thay vào công thức, ta có: \[ S = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55 \] Vậy, người đó có tổng cộng 55 khúc gỗ. Câu 1: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 2 \), ta cần đảm bảo rằng giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 bằng giá trị của \( f(2) \). Trước tiên, ta xét giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}. \] Ta có thể phân tích tử số \( x^2 - x - 2 \) thành nhân tử: \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1). \] Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 1). \] Khi \( x \) tiến đến 2, biểu thức \( x + 1 \) tiến đến: \[ \lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3. \] Vậy, để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 2 \), ta cần có: \[ f(2) = m = 3. \] Như vậy, giá trị của tham số \( m \) để hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) là: \[ m = 3. \] Câu 2: Sau 3 tháng số tiền cả gốc lẫn lãi anh Nam nhận được là: \[ 100 + 100 \times 3\% = 103 \text{ (triệu đồng)} \] Sau 6 tháng số tiền cả gốc lẫn lãi anh Nam nhận được là: \[ 103 + 103 \times 3\% = 106,09 \text{ (triệu đồng)} \] Sau 6 tháng anh Nam gửi thêm 100 triệu đồng nữa, tổng số tiền ban đầu là: \[ 106,09 + 100 = 206,09 \text{ (triệu đồng)} \] Sau 9 tháng số tiền cả gốc lẫn lãi anh Nam nhận được là: \[ 206,09 + 206,09 \times 3\% = 212,2727 \text{ (triệu đồng)} \] Sau 12 tháng số tiền cả gốc lẫn lãi anh Nam nhận được là: \[ 212,2727 + 212,2727 \times 3\% = 218,640881 \text{ (triệu đồng)} \] Vậy sau 1 năm, số tiền cả gốc lẫn lãi anh Nam nhận được là khoảng 218,64 triệu đồng.