giải đề cương

Câu 3: Để chứng minh \( GQ \parallel (BCD) \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của điểm G: Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABD \) là điểm chia các đường trung tuyến của tam giác theo tỉ lệ \( 2:1 \). Giả sử \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{D} \) lần lượt là các vectơ vị trí của các điểm \( A, B, D \). Khi đó, vectơ vị trí của \( G \) được xác định bởi: \[ \vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}}{3} \] 2. Xác định vị trí của điểm Q: Điểm \( Q \) thuộc cạnh \( AB \) sao cho \( AQ = 2QB \). Do đó, vectơ vị trí của \( Q \) là: \[ \vec{Q} = \frac{2\vec{B} + \vec{A}}{3} \] 3. Xác định vị trí của điểm P: Điểm \( P \) là trung điểm của \( CB \), do đó: \[ \vec{P} = \frac{\vec{C} + \vec{B}}{2} \] 4. Chứng minh \( GQ \parallel (BCD) \): Để chứng minh \( GQ \parallel (BCD) \), ta cần chứng minh rằng vectơ \( \vec{GQ} \) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ nằm trong mặt phẳng \( (BCD) \). Tính vectơ \( \vec{GQ} \): \[ \vec{GQ} = \vec{Q} - \vec{G} = \left(\frac{2\vec{B} + \vec{A}}{3}\right) - \left(\frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}}{3}\right) = \frac{2\vec{B} + \vec{A} - \vec{A} - \vec{B} - \vec{D}}{3} = \frac{\vec{B} - \vec{D}}{3} \] Vectơ \( \vec{GQ} = \frac{1}{3}(\vec{B} - \vec{D}) \) là một vectơ nằm trong mặt phẳng \( (BCD) \) vì nó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ \( \vec{BD} \). Do đó, \( GQ \parallel (BCD) \). Vậy, ta đã chứng minh được \( GQ \parallel (BCD) \).