Giúp Mình

Bắt đầu giải bài toán, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+y=(1+y)^2-2x-3 \\ \overrightarrow{y}=(\overrightarrow{z}+\overrightarrow{z}).\overrightarrow{z}=\overrightarrow{z} \end{matrix}\right.$ Ta sẽ giải từng phương trình một: - Phương trình thứ nhất: $x+y=(1+y)^2-2x-3$ $\Leftrightarrow 3x+y=1+2y+y^2$ $\Leftrightarrow 3x-y^2=1-y$ - Phương trình thứ hai: $\overrightarrow{y}=(\overrightarrow{z}+\overrightarrow{z}).\overrightarrow{z}=\overrightarrow{z}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{y}-\overrightarrow{z}=0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{y}.\overrightarrow{y}-2\overrightarrow{y}.\overrightarrow{z}+\overrightarrow{z}.\overrightarrow{z}=0$ $\Leftrightarrow ||\overrightarrow{y}||^2-2||\overrightarrow{y}||||\overrightarrow{z}||+||\overrightarrow{z}||^2=0$ $\Leftrightarrow ||\overrightarrow{y}||^2+||\overrightarrow{z}||^2=2||\overrightarrow{y}||||\overrightarrow{z}||$ Đặt $a=||\overrightarrow{y}||$ và $b=||\overrightarrow{z}||$, ta có: $a^2+b^2=2ab$ $\Leftrightarrow (a-b)^2=0$ $\Leftrightarrow a=b$ Vậy $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{z}$. Tiếp theo, ta sẽ tìm nghiệm của hệ phương trình. Thay $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{z}$ vào phương trình thứ nhất, ta được: $3x-y^2=1-y$ $\Leftrightarrow 3x-(1+y)^2=1-y$ $\Leftrightarrow 3x-1-2y-y^2=0$ $\Leftrightarrow 3x-1-2y-(3x+y-1)^2=0$ $\Leftrightarrow 9x^2+4xy+y^2-6x-3y=0$ $\Leftrightarrow (3x+y)^2-12x-4y=0$ $\Leftrightarrow (1+y)^2-12x-4y=0$ $\Leftrightarrow 13y^2-24y+1=0$ Giải phương trình trên ta được hai nghiệm: $\lambda_1=\frac{12+\sqrt{142}}{13}, \lambda_2=\frac{12-\sqrt{142}}{13}$ Cuối cùng, ta tính $x_1^2+x_2^2$: $x_1^2+x_2^2=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^2-2(\lambda_1\lambda_2)}{9}=\frac{28}{13}$ Vậy kết quả là $\boxed{\frac{28}{13}}$.