Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4.

Ta có thể chia các số thành 2 nhóm: nhóm A gồm các số có giá trị là 1 và nhóm B gồm các số có giá trị là -1. Gọi số lượng phần tử của nhóm A là a và số lượng phần tử của nhóm B là b. Khi đó, ta có: - Tổng các tích x1.x2, x2.x3, ..., xn.x1 bằng (a-b) hoặc (b-a) tùy thuộc vào số lượng phần tử của nhóm A và nhóm B. Điều này có thể được chứng minh bằng cách xét từng trường hợp. - Nếu (a-b) = (b-a), tức là a = b, thì n = a + b chia hết cho 4 vì a và b đều chia hết cho 2. - Nếu (a-b) = -(b-a), tức là a = b + 2 hoặc a + 2 = b, thì n = a + b chia hết cho 4 vì a và b đều không chia hết cho 2. - Nếu (a-b) khác 0 và không phải là ±(b-a), tức là |a-b| >= 2, thì n = a + b không chia hết cho 4 vì ít nhất một trong hai số a và b không chia hết cho 2. Vậy nếu x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4.