Bài 4. Cho tam giác ABC, góc B là góc tủ. Kẻ BỊ vuông góc với AC tại I, kẻ CE vuông góc AB tại E. a) Chứng minh: tam giác AIB đồng dạng với tam giác AEC. b) Chứng minh: tam giác AIE đồng dạng với tam...

a) Ta có: $\angle AIB = 90^{\circ} + \angle BAC = \angle AEC$ (do $AE \perp AB$ và $BI \perp AC$) $\angle ABI = \angle EAC$ (cùng chắn cung $\widehat{AC}$) Vậy tam giác AIB đồng dạng với tam giác AEC theo góc. b) Ta có: $\angle AIE = \angle AIB + \angle BIE = \angle AEC + \angle BAC = \angle ABC$ $\angle AEI = \angle AEC + \angle CEB = \angle AIB + \angle CBA = \angle ACB$ Vậy tam giác AIE đồng dạng với tam giác ABC theo góc. c) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$. Khi đó, ta có: $AB.AE + AF.CB = AB.AE + AH.CB + FH.CB = AB.AH + FH.CB = AH.(AB+HC) + FH.CB = AH.AC + FH.CB = AC^2$ Vì $AH = AC \cos{\angle BAC} = \dfrac{AC}{\sin{\angle ACB}} \cos{\angle BAC} = \dfrac{AC}{\tan{\angle ACB}} \dfrac{\sin{\angle ACB}}{\cos{\angle ACB}} = \dfrac{AC \sin{\angle ACB}}{\tan{\angle ACB}} = \dfrac{FH}{\tan{\angle ACB}}$, nên ta có: $AB.AE + AF.CB = AC^2$