Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 4cm, BC = 3cm. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt DC tại E. a) Chứng minh tam giác BDC đồng dạng với tam giác EDB, từ đó suy ra DB² = DC.DE b) Tinh...

a) Ta có $\angle BDC = \angle EDB$ (do cả hai đều vuông góc với BD), và $\angle CBD = \angle EBD$ (do BD là đường trung trực của AC). Vậy tam giác BDC đồng dạng với tam giác EDB theo góc. Từ đó suy ra: $\frac{DB}{ED} = \frac{DC}{DB} \Leftrightarrow DB^2 = DC \cdot DE$ b) Áp dụng định lí Pythagore, ta có: $DB = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + BC^2} = 5$ Tương tự, ta có $CE = \sqrt{DE^2 + DC^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$. c) Ta có $\angle CFB = 90^\circ$ (do CF vuông góc với BE), $\angle FBC = \angle EBD$ (do BD là đường trung trực của AC), và $\angle BDC = \angle EDB$ (đồng dạng được chứng minh ở câu a). Vậy tam giác FBC đồng dạng với tam giác EBD theo góc. Từ đó suy ra: $\frac{FC}{ED} = \frac{BC}{DB} \Leftrightarrow FC = \frac{BC \cdot ED}{DB} = \frac{3 \cdot 5}{5} = 3$ Do đó, ta có $FK = BC - FC = 3 - 3 = 0$. Vậy K trùng với B, và $BK \parallel CF$. Từ đó suy ra $\angle EKI = \angle FCB = \angle EBD$, nên tam giác EKI đồng dạng với tam giác EBD theo góc. Vậy: $\frac{EI}{ED} = \frac{EK}{EB} = \frac{CK}{CB} = \frac{CE}{BC} = \frac{\sqrt{34}}{3}$ Do đó, ta có $EI = \frac{ED \cdot \sqrt{34}}{3}$. Từ đó suy ra: $FI = FC - CI = 3 - \frac{EI}{ED} \cdot EF = 3 - \frac{\sqrt{34}}{3} \cdot \frac{BE}{BD} \cdot EF$ Vì $BE = BD - DE = 5 - 3 = 2$, $BD = 5$, và $EF = FC = 3$, nên ta có $FI = \frac{1}{3}$. Tương tự, ta có $IC = \frac{2}{3}$. Vậy I là trung điểm của CF.