Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc AB
tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng
minh rằng:
a) Chứng minh...
Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
a) Ta có $\angle ADB = \angle AEC$ (do $AB \perp BD$ và $AC \perp CE$), $AD = AE$ (cùng là đường cao của tam giác ABC), $BD = EC$ (do $BD$ và $CE$ đều là đường cao của tam giác ABC). Vậy theo định lí cạnh-góc-cạnh, ta có $\Delta ADB \cong \Delta AEC$.
Tương tự, ta có $\angle AED = \angle ACB$ (do $AE \perp AC$ và $ED \perp CB$), $AD = AC$ (cùng là đường cao của tam giác ABC), $ED = CB$ (do $ED$ và $CB$ đều là đường cao của tam giác ABC). Vậy theo định lí cạnh-góc-cạnh, ta có $\Delta AED \cong \Delta ACB$.
b) Ta có $\angle HBC = \angle HCE$ (do $BD \parallel KE$), $\angle HCB = \angle HBD$ (do $CE \parallel KD$). Vậy theo định lí góc đồng quy, ta có $HE.BC = HC.BD = HD.BE$. Từ đó suy ra $HE.HC = HD.HB$.
c) Ta có $\angle AED = \angle ACB$ (đã chứng minh ở câu a), $\angle KAC = \angle KBC$ (do $AK$ là đường cao của tam giác $ABC$), $\angle KCA = \angle KCB$ (do $AK$ là đường cao của tam giác $ABC$). Vậy theo định lí góc đồng quy, ta có $KAMC$ là tứ giác nội tiếp.
Do đó, $\angle AED = \angle ACB = \angle KAM = \angle KCM$. Từ đó suy ra $H, M, K$ thẳng hàng.
d) Ta có $BE = BC \cos B$ và $BA = BC \sin B$, $CD = BC \cos C$ và $CA = BC \sin C$. Vậy $BE.BA + CD.CA = BC^2 \cos B \sin B + BC^2 \cos C \sin C = BC^2 (\sin B \cos B + \sin C \cos C)$.
Ta có $\sin B \cos B + \sin C \cos C = \frac{1}{2}(\sin 2B + \sin 2C) = \frac{1}{2}(\sin (B+C) + \sin (B-C)) = \frac{1}{2}(\sin A + \sin (B-C)) = \frac{1}{2}(\sin A + \sin A) = \sin A$.
Vậy $BE.BA + CD.CA = BC^2 \sin A$, hay $BE.BA + CD.CA = AH.BC$ (do $AH = 2R \sin A = BC \sin A$).
Từ đó suy ra $BE.BA + CD.CA = BC^2$.
e) Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $OH$, ta có:
$\frac{HO}{HB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1$
Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $AD$, ta có:
$\frac{HD}{HA}.\frac{BA}{EC}.\frac{CE}{EA} = 1$
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $AE$, ta có:
$\frac{HE}{HA}.\frac{BA}{BC}.\frac{CM}{AM} = 1$
Từ đó suy ra:
$\frac{HO}{HB} + \frac{HD}{HA} + \frac{HE}{HA} = \frac{BD}{DC} + \frac{BA}{EC} + \frac{BC}{AM}$
Vì $AM = \frac{1}{2} BC$, nên ta
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.