Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: a) Chứng minh...

a) Ta có $$ (do $$ và $$), $$ (cùng là đường cao của tam giác ABC), $$ (do $$ và $$ đều là đường cao của tam giác ABC). Vậy theo định lí cạnh-góc-cạnh, ta có $$. Tương tự, ta có $$ (do $$ và $$), $$ (cùng là đường cao của tam giác ABC), $$ (do $$ và $$ đều là đường cao của tam giác ABC). Vậy theo định lí cạnh-góc-cạnh, ta có $$. b) Ta có $$ (do $$), $$ (do $$). Vậy theo định lí góc đồng quy, ta có $$. Từ đó suy ra $$. c) Ta có $$ (đã chứng minh ở câu a), $$ (do $$ là đường cao của tam giác $$), $$ (do $$ là đường cao của tam giác $$). Vậy theo định lí góc đồng quy, ta có $$ là tứ giác nội tiếp. Do đó, $$. Từ đó suy ra $$ thẳng hàng. d) Ta có $$ và $$, $$ và $$. Vậy $$. Ta có $$. Vậy $$, hay $$ (do $$). Từ đó suy ra $$. e) Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $$ và đường thẳng $$, ta có: $$ Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $$ và đường thẳng $$, ta có: $$ Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $$ và đường thẳng $$, ta có: $$ Từ đó suy ra: $$ Vì $$, nên ta