Cho tam giác ABC nhọn ,đường cao AH .Kẻ HE vuông góc với AB tại E ,HF vuông góc với AC tại F Chứng minh rằng: a)AH^2=AE.AB b)AE.AB=AF.AC c)Giả sử chu vi tam giác AEF và tam giác ABC lần lượt là 20cm và...

a) Ta có: $\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC}$ (định lí đường cao) $\Rightarrow AH=\frac{AC}{BC}.AB$ Mà $\Delta AHE \sim \Delta ABC$ nên: $\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{AC}$ $\Rightarrow AH=AE.\frac{AB}{AC}$ Từ hai biểu thức trên ta suy ra: $AH^2=\frac{AE^2.AB^2}{AC^2}$ Mà $\Delta ABC$ nhọn nên $AH^2=AB^2-AH^2$ $\Rightarrow AH^2=\frac{AE^2.AB^2}{AC^2}=AB^2-AH^2$ $\Rightarrow AH^2=AE.AB$ b) Tương tự, ta có: $\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{BC}$ (định lí đường cao) $\Rightarrow AH=\frac{AB}{BC}.AC$ Mà $\Delta AHF \sim \Delta ABC$ nên: $\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AB}$ $\Rightarrow AH=AF.\frac{AC}{AB}$ Từ hai biểu thức trên ta suy ra: $AH^2=\frac{AF^2.AC^2}{AB^2}$ Mà $\Delta ABC$ nhọn nên $AH^2=AC^2-AH^2$ $\Rightarrow AH^2=\frac{AF^2.AC^2}{AB^2}=AC^2-AH^2$ $\Rightarrow AE.AB=AF.AC$ c) Gọi $S_{ABC}$ và $S_{AEF}$ lần lượt là diện tích của hai tam giác. Ta có: $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{EF}{BC}$ Mà $EF=AH.\frac{EF}{AH}$ và $BC=AH.\frac{BC}{AH}$ nên: $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AH.\frac{EF}{AH}}{AH.\frac{BC}{AH}}=\frac{EF}{BC}$ $\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AC}$ $\Rightarrow S_{AEF}=S_{ABC}.\frac{AE}{AC}$ Từ đó suy ra: $S_{ABC}=S_{AEF}.\frac{AC}{AE}=25.\frac{30}{20}=37.5(cm^2)$ Vậy diện tích hai tam giác lần lượt là 20cm và 37.5cm.