Cho tam giác ABC vuông tại A (AB

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) tia phân giác của góc B cắt AC tại D kẻ DE vuông góc với BC tại E Gọi M là giao điểm của AB và DE a )chứng minh tam giác ABC bằng tam giác EBD Từ đó suy ra BA = BEb) so sánh độ dài các cạnh của tam giác ADMc) Gọi K là trung điểm của MC. Chứng minh ba điểm B, D, K thẳng hàng

Accepted Answer

a) Ta có $\angle ABD = \angle CBD$ (do BD là tia phân giác của góc B), $\angle BED = 90^\circ$ (DE vuông góc với BC) nên $\angle ABE = \angle CBE = \angle EBD$. Từ đó suy ra tam giác ABC bằng tam giác EBD.
b) Ta có $\angle ADM = \angle ABD = \angle EBD$ (do tam giác ABC bằng tam giác EBD), $\angle MAD = \angle MAB + \angle BAD = \angle EBD + \angle BAD = \angle BED$ (do BD là tia phân giác của góc B và DE vuông góc với BC). Vậy tam giác ADM và tam giác BED đồng dạng, từ đó suy ra:
$$\frac{AD}{BD} = \frac{DM}{BE} \Rightarrow AD = \frac{BD \cdot DM}{BE}$$
c) Ta có $MK \parallel BC$ (do K là trung điểm của MC), $DE \perp BC$ nên $MK \perp DE$. Từ đó suy ra tam giác MDE vuông tại D và $MD^2 = ME \cdot MK$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC. Ta có:
$$\frac{BD}{DH} = \frac{AB}{AH} = \frac{DM}{MH}$$
(do tam giác ADM và tam giác ABH đồng dạng). Tương tự, ta có:
$$\frac{BE}{EH} = \frac{DM}{MH}$$
(do tam giác EDM và tam giác EBH đồng dạng). Từ hai biểu thức trên suy ra:
$$\frac{BD}{DH} = \frac{BE}{EH} \Rightarrow \frac{BD}{BE} = \frac{DH}{EH}$$
(do $BD = BE$ vì tam giác ABC bằng tam giác EBD). Như vậy, ta có:
$$\frac{MD^2}{ME^2} = \frac{BD^2}{BE^2} = \frac{DH^2}{EH^2}$$
(do $MD^2 = ME \cdot MK$ và $DH^2 + EH^2 = AH^2 = AB^2 - BH^2 = AC^2 - BH^2 > AC^2 - AB^2 > 0$ vì $AB < AC$). Từ đó suy ra $MD \cdot EH = ME \cdot DH$, hay $MDEH$ là tứ giác điều hòa. Do đó, ta có $BD$, $EH$, $DM$ đồng quy trên một đường, hay ba điểm B, D, K thẳng hàng.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) tia phân giác của góc B cắt AC tại D kẻ DE vuông góc với BC tại E Gọi M là giao điểm của AB và DE a )chứng minh tam giác ABC bằng tam giác EBD Từ đó suy ra BA = B...