cho hunhd chóp S.ABCD có SA=1, tất cả các cạnh còn lại bằng √³. Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD)∛

Để tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD)∛, ta cần tìm trước phương trình của mp (ABCD)∛. Vì S.ABCD là hình chóp nên mp (ABCD)∛ sẽ là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh AB và trung điểm của cạnh CD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD, ta có: M(√³/2, 0, 0) N(-√³/2, 0, 0) Để tìm phương trình của mp (ABCD)∛, ta chỉ cần lấy hai điểm M và N kết hợp với vector pháp tuyến của mặt phẳng ABCD để tạo thành phương trình của mp (ABCD)∛. Vector pháp tuyến của mặt phẳng ABCD có thể tìm bằng tích vector của hai vector AB và AD: AB = B - A = (√³, 0, 0) - (0, 0, 0) = (√³, 0, 0) AD = D - A = (-√³/2, √³/2, 0) - (0, 0, 1) = (-√³/2, √³/2, -1) Nên vector pháp tuyến của mặt phẳng ABCD là: n = AB x AD = (-√³/2, -√³/2, √³/2) Phương trình của mp (ABCD)∛ là: (-√³/2, 0, 0) + t(-√³/2, -√³/2, √³/2) Hay x = -√³/2 - t√³/2 y = -t√³/2 z = t√³/2 Để tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD)∛, ta chỉ cần tính khoảng cách từ S đến điểm trên mp (ABCD)∛ có tọa độ (x, y, z) bất kỳ. Khoảng cách từ một điểm S(x1, y1, z1) đến một điểm P(x2, y2, z2) là: d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2) Áp dụng vào bài toán này, ta có: d = sqrt((-√³/2 - t√³/2 - 0)^2 + (-t√³/2 - 0)^2 + (t√³/2 - 1)^2) d = sqrt(3t^2/4 + t√³ + 5/4) Để tìm khoảng cách nhỏ nhất từ S đến mp (ABCD)∛, ta cần tìm giá trị t sao cho d đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có thể tìm giá trị t bằng cách lấy đạo hàm của d theo t và giải phương trình đạo hàm bằng 0: d' = (3t√³ + 2t)/2sqrt(3t^2/4 + t√³ + 5/4) = 0 Từ đó ta có: t = -4/3√³ Khi đó, khoảng cách nhỏ nhất từ S đến mp (ABCD)∛ là: d = sqrt(7/3)