giúp mình với Câu 1. Cho các hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-4}{x-2}&khi~x
e2\4,5&khi~x=2\end{array} ight.$ và $g(x)=\frac2{x-1}.$ Khi đó:,Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

Mệnh đề,,Đúng,Sai
a),Hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm $x_0=2.$,,
b),Giới hạn $\lim_{x ightarrow2}f(x)=4$,,
c),Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0=2.$,,
d),Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại điểm $x_0=2.$,,

Question

giúp mình với Câu 1. Cho các hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-4}{x-2}&khi~x
e2\4,5&khi~x=2\end{array}ight.$ và $g(x)=\frac2{x-1}.$ Khi đó:,Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

Mệnh đề,,Đúng,Sai
a),Hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm $x_0=2.$,,
b),Giới hạn $\lim_{xightarrow2}f(x)=4$,,
c),Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0=2.$,,
d),Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại điểm $x_0=2.$,,

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5370387,"userName":"Khang Võ"}

a) Đúng

Hàm số g(x) xác định trên $$R\setminus\left\lbrace1 ight brace$$

Điểm $$x_0=2$$ nằm trong tập xác định này và hàm số liên tục trên toàn bộ tập xác định của nó

b) Đúng

$$\lim_{x o2}f\left(x ight)=\lim_{x o2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x o2}\frac{\left(x-2 ight)\left(x+2 ight)}{x-2}=\lim_{x o2}\left(x+2 ight)=2+2=4$$

c) Sai

Vì $$\lim_{x o2}f\left(x ight) e f\left(2 ight)=4,5\Rightarrow f\left(x ight)$$ không liên tục tại điểm $$x_0=2$$

d) Sai

f(x) không liên tục tại $$x_0=2$$ nên $$y=\frac{f\left(x ight)}{g\left(x ight)}$$ không liên tục tại $x_0 =2$.

Timi · Answer

Câu 1:
a) Đúng vì $ g(2) = \frac{2}{2 - 1} = 2 $. Ta có $ \lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2}{x - 1} = +\infty $; $ \lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{2}{x - 1} = -\infty $. Vậy $ \lim_{x \to 2^-} g(x) \neq \lim_{x \to 2^+} g(x) \Rightarrow \lim_{x \to 2} g(x) $ không tồn tại. Do đó, hàm số $ g(x) $ không liên tục tại $ x_0 = 2 $.

b) Đúng vì $ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 $.

c) Sai vì $ f(2) = 4,5 \neq \lim_{x \to 2} f(x) = 4 $. Do đó, hàm số $ f(x) $ không liên tục tại $ x_0 = 2 $.

d) Sai vì $ y = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2 - 4}{x - 2} : \frac{2}{x - 1} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 1}{2} = \frac{(x + 2)(x - 1)}{2} $ với $ x \neq 2 $ và $ x \neq 1 $. Ta có $ \lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2 $. Tuy nhiên, $ y(2) $ không xác định. Do đó, hàm số $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ không liên tục tại $ x_0 = 2 $.