giải đề cương

Câu 1: Để giải quyết các yêu cầu về thống kê của dãy số liệu, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Số trung bình của dãy số liệu: Số trung bình của dãy số liệu được tính bằng công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó \(f_i\) là tần số của mỗi khoảng và \(x_i\) là giá trị đại diện của mỗi khoảng. - Khoảng \([0,9; 0,95)\): \(x_1 = 0,925\), \(f_1 = 10\) - Khoảng \([0,95; 1,0)\): \(x_2 = 0,975\), \(f_2 = 20\) - Khoảng \([1,0; 1,05)\): \(x_3 = 1,025\), \(f_3 = 35\) - Khoảng \([1,05; 1,1)\): \(x_4 = 1,075\), \(f_4 = 15\) - Khoảng \((1,1; 1,15)\): \(x_5 = 1,125\), \(f_5 = 5\) Tính tổng: \[ \sum_{i=1}^{5} f_i x_i = 10 \times 0,925 + 20 \times 0,975 + 35 \times 1,025 + 15 \times 1,075 + 5 \times 1,125 \] \[ = 9,25 + 19,5 + 35,875 + 16,125 + 5,625 = 86,375 \] Tổng tần số: \[ \sum_{i=1}^{5} f_i = 10 + 20 + 35 + 15 + 5 = 85 \] Số trung bình: \[ \bar{x} = \frac{86,375}{85} \approx 1,016 \] b) Nhóm chứa mốt của dãy số liệu: Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dãy số liệu. Từ bảng tần số, ta thấy rằng khoảng \([1,0; 1,05)\) có tần số cao nhất (35). Do đó, nhóm chứa mốt của dãy số liệu là \([1,0; 1,05)\). c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu nhóm (\(Q_1\)): Tứ phân vị thứ nhất (\(Q_1\)) là giá trị chia dãy số liệu thành 25% phần dưới và 75% phần trên. Để tìm \(Q_1\), ta cần xác định vị trí của nó trong dãy số liệu đã sắp xếp. Tổng số phần tử: \(85\) Vị trí của \(Q_1\): \[ Q_1 \text{ nằm ở vị trí } \left(\frac{1}{4} \times 85\right) = 21,25 \] Do đó, \(Q_1\) nằm trong khoảng \([0,95; 1,0)\). Ta sử dụng công thức nội suy để tìm \(Q_1\): \[ Q_1 = L + \frac{\left(\frac{n}{4} - F_b\right)}{f_q} \times w \] Trong đó: - \(L = 0,95\) (giới hạn dưới của khoảng chứa \(Q_1\)) - \(F_b = 10\) (tổng tần số của các khoảng trước khoảng chứa \(Q_1\)) - \(f_q = 20\) (tần số của khoảng chứa \(Q_1\)) - \(w = 0,05\) (độ rộng của khoảng) \[ Q_1 = 0,95 + \frac{(21,25 - 10)}{20} \times 0,05 = 0,95 + \frac{11,25}{20} \times 0,05 = 0,95 + 0,028125 = 0,978125 \approx 0,98 \] d) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nhóm (\(Q_3\)): Tứ phân vị thứ ba (\(Q_3\)) là giá trị chia dãy số liệu thành 75% phần dưới và 25% phần trên. Để tìm \(Q_3\), ta cần xác định vị trí của nó trong dãy số liệu đã sắp xếp. Vị trí của \(Q_3\): \[ Q_3 \text{ nằm ở vị trí } \left(\frac{3}{4} \times 85\right) = 63,75 \] Do đó, \(Q_3\) nằm trong khoảng \([1,05; 1,1)\). Ta sử dụng công thức nội suy để tìm \(Q_3\): \[ Q_3 = L + \frac{\left(\frac{3n}{4} - F_b\right)}{f_q} \times w \] Trong đó: - \(L = 1,05\) (giới hạn dưới của khoảng chứa \(Q_3\)) - \(F_b = 65\) (tổng tần số của các khoảng trước khoảng chứa \(Q_3\)) - \(f_q = 15\) (tần số của khoảng chứa \(Q_3\)) - \(w = 0,05\) (độ rộng của khoảng) \[ Q_3 = 1,05 + \frac{(63,75 - 65)}{15} \times 0,05 = 1,05 + \frac{-1,25}{15} \times 0,05 = 1,05 - 0,0041667 \approx 1,045833 \approx 1,046 \] Như vậy, các kết quả cuối cùng là: a) Số trung bình của dãy số liệu là: 1,016. b) Nhóm chứa mốt của dãy số liệu là [1,0; 1,05). c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu nhóm là: \(Q_1 = 0,98\). d) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nhóm là: \(Q_3 = 1,046\). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần của đề bài và sử dụng các kiến thức về hình học không gian. a) SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (ABC). - Mặt phẳng (SAC) chứa các điểm S, A, C. - Mặt phẳng (ABC) chứa các điểm A, B, C. - Đường thẳng SO nằm trong mặt phẳng (SAC) vì O là giao điểm của AC và BD, do đó O thuộc AC, và S thuộc mặt phẳng (SAC). - Đường thẳng SO cũng nằm trong mặt phẳng (ABC) vì O thuộc AC và AC nằm trong mặt phẳng (ABC). - Do đó, SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (ABC). b) SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). - Mặt phẳng (SAC) chứa các điểm S, A, C. - Mặt phẳng (SBD) chứa các điểm S, B, D. - Đường thẳng SO nằm trong mặt phẳng (SAC) vì đã chứng minh ở phần a. - Đường thẳng SO cũng nằm trong mặt phẳng (SBD) vì O là giao điểm của AC và BD, do đó O thuộc BD, và S thuộc mặt phẳng (SBD). - Do đó, SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). c) Giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (ABM) là điểm K. - Mặt phẳng (ABM) chứa các điểm A, B, M. - Điểm K là giao điểm của AM và SO, do đó K thuộc cả AM và SO. - Vì AM nằm trong mặt phẳng (ABM), nên K cũng thuộc mặt phẳng (ABM). - Do đó, K là giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (ABM). d) Giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM) là điểm N thuộc đường thẳng AK. - Đường thẳng SD cắt mặt phẳng (ABM) tại một điểm N. - Vì K thuộc mặt phẳng (ABM) và K thuộc đường thẳng AK, nên đường thẳng AK nằm trong mặt phẳng (ABM). - Do đó, nếu N thuộc đường thẳng AK, thì N cũng thuộc mặt phẳng (ABM). - Vì vậy, N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM) và N thuộc đường thẳng AK. Tóm lại, các phần a, b, c, d đều được chứng minh dựa trên các tính chất của giao tuyến và mặt phẳng trong hình học không gian. Câu 1: Để hàm số liên tục tại \( x = \frac{1}{2} \), ta cần: \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = f\left(\frac{1}{2}\right) \] Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến \( \frac{1}{2} \): \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{ax^2 + 1} - bx - 2}{4x^3 - 3x + 1} \] Ta sẽ nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\left(\sqrt{ax^2 + 1} - bx - 2\right)\left(\sqrt{ax^2 + 1} + bx + 2\right)}{\left(4x^3 - 3x + 1\right)\left(\sqrt{ax^2 + 1} + bx + 2\right)} \] Tử số trở thành: \[ \left(\sqrt{ax^2 + 1}\right)^2 - (bx + 2)^2 = ax^2 + 1 - (b^2x^2 + 4bx + 4) = ax^2 + 1 - b^2x^2 - 4bx - 4 \] \[ = (a - b^2)x^2 - 4bx - 3 \] Mẫu số trở thành: \[ (4x^3 - 3x + 1)(\sqrt{ax^2 + 1} + bx + 2) \] Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(a - b^2)x^2 - 4bx - 3}{(4x^3 - 3x + 1)(\sqrt{ax^2 + 1} + bx + 2)} \] Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào tử số và mẫu số: \[ \text{Tử số: } (a - b^2)\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4b\left(\frac{1}{2}\right) - 3 = \frac{a - b^2}{4} - 2b - 3 \] \[ \text{Mẫu số: } \left(4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right)\left(\sqrt{a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1} + b\left(\frac{1}{2}\right) + 2\right) \] \[ = \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1\right)\left(\sqrt{\frac{a}{4} + 1} + \frac{b}{2} + 2\right) \] \[ = 0 \cdot \left(\sqrt{\frac{a}{4} + 1} + \frac{b}{2} + 2\right) = 0 \] Để giới hạn tồn tại, tử số cũng phải bằng 0: \[ \frac{a - b^2}{4} - 2b - 3 = 0 \] \[ a - b^2 - 8b - 12 = 0 \] \[ a = b^2 + 8b + 12 \] Tiếp theo, ta thay \( x = \frac{1}{2} \) vào \( f\left(\frac{1}{2}\right) \): \[ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{c}{2} \] Do đó, ta có: \[ \frac{c}{2} = \frac{a - b^2}{4} - 2b - 3 \] \[ \frac{c}{2} = \frac{b^2 + 8b + 12 - b^2}{4} - 2b - 3 \] \[ \frac{c}{2} = \frac{8b + 12}{4} - 2b - 3 \] \[ \frac{c}{2} = 2b + 3 - 2b - 3 \] \[ \frac{c}{2} = 0 \] \[ c = 0 \] Cuối cùng, ta có: \[ a = b^2 + 8b + 12 \] \[ c = 0 \] Vậy: \[ S = abc = b(b^2 + 8b + 12) \cdot 0 = 0 \] Đáp số: \( S = 0 \) Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định trọng tâm G và J: - Trọng tâm G của tam giác \( \Delta ABD \) là điểm chia đoạn nối từ đỉnh A đến trung điểm của cạnh BD theo tỉ lệ 2:1. - Trọng tâm J của tam giác \( \Delta ACD \) là điểm chia đoạn nối từ đỉnh A đến trung điểm của cạnh CD theo tỉ lệ 2:1. 2. Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AGJ) và (BCD): - Mặt phẳng (AGJ) chứa các điểm A, G, J. - Mặt phẳng (BCD) chứa các điểm B, C, D. - Để tìm giao tuyến d, ta cần tìm một điểm chung của hai mặt phẳng này và một phương vector chỉ phương của d. 3. Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng d: - Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng d là khoảng cách ngắn nhất từ D đến một điểm trên d. - Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. Chi tiết các bước: - Bước 1: Tìm tọa độ các điểm. Giả sử tứ diện ABCD có các đỉnh A, B, C, D với tọa độ như sau: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(\sqrt{3}, 0, 0) \) - \( C(0, \sqrt{3}, 0) \) - \( D(0, 0, \sqrt{3}) \) - Bước 2: Tìm tọa độ trọng tâm G và J. - Trọng tâm G của \( \Delta ABD \): \[ G = \left( \frac{0 + \sqrt{3} + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + \sqrt{3}}{3} \right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{3}, 0, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \] - Trọng tâm J của \( \Delta ACD \): \[ J = \left( \frac{0 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + \sqrt{3} + 0}{3}, \frac{0 + 0 + \sqrt{3}}{3} \right) = \left( 0, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \] - Bước 3: Xác định giao tuyến d. - Mặt phẳng (AGJ) có phương trình được xác định bởi các điểm A, G, J. - Mặt phẳng (BCD) có phương trình được xác định bởi các điểm B, C, D. Tìm giao tuyến d bằng cách giải hệ phương trình của hai mặt phẳng này. - Bước 4: Tính khoảng cách từ D đến d. - Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng d trong không gian: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] với \((x_1, y_1, z_1)\) là tọa độ điểm D và \((a, b, c)\) là vector chỉ phương của d. Do bài toán yêu cầu tính toán cụ thể, cần thực hiện các phép tính chi tiết để tìm ra phương trình của d và sau đó tính khoảng cách từ D đến d. Tuy nhiên, do giới hạn của bài toán, các bước trên đã chỉ ra phương pháp giải quyết vấn đề. Câu 3: Để tính tiền điện trung bình của các hộ gia đình trong xóm Chùa, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị đại diện cho mỗi khoảng tiền điện: - Khoảng [350;400): Giá trị đại diện là 375 (nghìn đồng) - Khoảng [400;450): Giá trị đại diện là 425 (nghìn đồng) - Khoảng [450;500): Giá trị đại diện là 475 (nghìn đồng) - Khoảng [500;550): Giá trị đại diện là 525 (nghìn đồng) - Khoảng [550;600): Giá trị đại diện là 575 (nghìn đồng) 2. Nhân giá trị đại diện với số hộ gia đình tương ứng: - Khoảng [350;400): \( 375 \times 6 = 2250 \) (nghìn đồng) - Khoảng [400;450): \( 425 \times 14 = 5950 \) (nghìn đồng) - Khoảng [450;500): \( 475 \times 21 = 9975 \) (nghìn đồng) - Khoảng [500;550): \( 525 \times 17 = 8925 \) (nghìn đồng) - Khoảng [550;600): \( 575 \times 2 = 1150 \) (nghìn đồng) 3. Tổng cộng các kết quả trên: \[ 2250 + 5950 + 9975 + 8925 + 1150 = 28250 \text{ (nghìn đồng)} \] 4. Tính tổng số hộ gia đình: \[ 6 + 14 + 21 + 17 + 2 = 60 \text{ hộ} \] 5. Tính tiền điện trung bình: \[ \text{Tiền điện trung bình} = \frac{\text{Tổng tiền điện}}{\text{Tổng số hộ gia đình}} = \frac{28250}{60} \approx 470.83 \text{ (nghìn đồng)} \] 6. Làm tròn kết quả đến nghìn đồng: \[ 470.83 \approx 471 \text{ (nghìn đồng)} \] Kết luận: Tiền điện trung bình của các hộ gia đình trong xóm Chùa là 471 nghìn đồng. Câu 4: Gọi ba số hạng của cấp số cộng lần lượt là \( a-d \), \( a \), \( a+d \). Theo đề bài, tổng ba số hạng này là 21: \[ (a-d) + a + (a+d) = 21 \] \[ 3a = 21 \] \[ a = 7 \] Ba số hạng của cấp số cộng lần lượt là \( 7-d \), \( 7 \), \( 7+d \). Theo đề bài, nếu lấy số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân: \[ 7-d, 6, 8+d \] Để ba số này lập thành một cấp số nhân, ta có: \[ 6^2 = (7-d)(8+d) \] \[ 36 = (7-d)(8+d) \] \[ 36 = 56 + 7d - 8d - d^2 \] \[ 36 = 56 - d - d^2 \] \[ d^2 + d - 20 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ d = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} \] \[ d = \frac{-1 \pm 9}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ d = 4 \quad \text{hoặc} \quad d = -5 \] Xét trường hợp \( d = 4 \): Ba số hạng của cấp số cộng lần lượt là \( 3 \), \( 7 \), \( 11 \). Tích của ba số này là: \[ 3 \times 7 \times 11 = 231 \] Xét trường hợp \( d = -5 \): Ba số hạng của cấp số cộng lần lượt là \( 12 \), \( 7 \), \( 2 \). Tích của ba số này là: \[ 12 \times 7 \times 2 = 168 \] Vì số hạng đầu có giá trị nhỏ hơn 4, nên trường hợp \( d = -5 \) không thỏa mãn. Do đó, tích của ba số hạng là: \[ 3 \times 7 \times 11 = 231 \] Đáp số: 231 Câu 1: Để tính giới hạn bên phải của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1, ta cần xem xét phần định nghĩa của hàm số khi \( x \geq 1 \). Hàm số \( f(x) \) được định nghĩa như sau: \[ f(x) = \begin{cases} x^2 + x & \text{nếu } x \geq 1 \\ 3x + 1 & \text{nếu } x < 1 \end{cases} \] Khi \( x \) tiến đến 1 từ phía bên phải (\( x \to 1^+ \)), ta sử dụng phần định nghĩa \( x^2 + x \) vì \( x \geq 1 \). Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + x) \] Thay \( x = 1 \) vào biểu thức \( x^2 + x \): \[ \lim_{x \to 1^+} (x^2 + x) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \] Vậy, giới hạn bên phải của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 là: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 \] Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm số hàng cây \( n \) sao cho tổng số cây trồng là 4950. Tổng số cây trồng theo quy luật này là tổng của dãy số tự nhiên từ 1 đến \( n \), được tính bằng công thức: \[ S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \] Theo đề bài, tổng số cây là 4950, do đó ta có phương trình: \[ \frac{n(n+1)}{2} = 4950 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ n(n+1) = 9900 \] Đây là một phương trình bậc hai ẩn \( n \). Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng: \[ n^2 + n - 9900 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -9900 \), ta có: \[ b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-9900) = 1 + 39600 = 39601 \] Tính căn bậc hai của 39601: \[ \sqrt{39601} = 199 \] Thay vào công thức nghiệm: \[ n = \frac{-1 \pm 199}{2} \] Ta có hai nghiệm: 1. \( n = \frac{-1 + 199}{2} = \frac{198}{2} = 99 \) 2. \( n = \frac{-1 - 199}{2} = \frac{-200}{2} = -100 \) Vì số hàng cây \( n \) phải là số nguyên dương, nên nghiệm hợp lý là \( n = 99 \). Vậy số hàng cây được trồng là 99 hàng. Câu 3: Để chứng minh rằng \( SC \) song song với mặt phẳng \((MNP)\), ta cần chứng minh rằng \( SC \) song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((MNP)\). Bước 1: Xác định các vector liên quan - Vì \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \] - \( P \) là trung điểm của \( SA \), do đó: \[ \overrightarrow{SP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SA} \] Bước 2: Tìm vector chỉ phương của mặt phẳng \((MNP)\) - Vector \(\overrightarrow{MN}\) có thể được tính như sau: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \left(\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD}\right) - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] - Vector \(\overrightarrow{MP}\) có thể được tính như sau: \[ \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM} = \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{SA}\right) - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] Bước 3: Chứng minh \( SC \) song song với mặt phẳng \((MNP)\) - Xét vector \(\overrightarrow{SC}\): \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \] - Do \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \) (vì \( ABCD \) là hình bình hành), ta có: \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] - Ta thấy rằng \(\overrightarrow{SC}\) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{MP}\), vì: \[ \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MN} \] Do đó, \( SC \) song song với mặt phẳng \((MNP)\) vì nó có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các vector chỉ phương của mặt phẳng này. Vậy, ta đã chứng minh được \( SC \) song song với mặt phẳng \((MNP)\).