giúp e giải 3 câu hỏi này với ạ

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh AB song song với (OMN) 1. Xác định mặt phẳng (OMN): - Mặt phẳng (OMN) đi qua điểm O và song song với mặt phẳng (SCD). Do đó, (OMN) cũng song song với các đường thẳng trong mặt phẳng (SCD). 2. Xác định tính chất của hình bình hành ABCD: - Vì ABCD là hình bình hành, nên AB song song với CD và AD song song với BC. 3. Chứng minh AB song song với (OMN): - Do (OMN) song song với (SCD) và CD nằm trong (SCD), nên CD song song với (OMN). - Vì AB song song với CD (tính chất của hình bình hành), nên AB cũng song song với (OMN). b) Tính diện tích tam giác OMN 1. Xác định vị trí của O, M, N: - O là giao điểm của AC và BD, do đó O là trung điểm của AC và BD. - Mặt phẳng (P) song song với (SCD) và cắt SA tại M, SB tại N. Vì (P) song song với (SCD), nên tỷ số đoạn thẳng trên SA và SB là như nhau. 2. Tính độ dài đoạn OM và ON: - Vì tam giác SCD là tam giác đều cạnh 2, nên khoảng cách từ S đến mặt phẳng (SCD) là một hằng số. Do đó, mặt phẳng (P) chia các đoạn SA và SB theo cùng tỷ lệ. - Giả sử tỷ lệ chia là \( k \), ta có \( \frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = k \). 3. Tính diện tích tam giác OMN: - Do (OMN) song song với (SCD), tam giác OMN đồng dạng với tam giác SCD. - Diện tích tam giác SCD là \( \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3} \). - Tỷ lệ đồng dạng giữa tam giác OMN và tam giác SCD là \( k \). - Diện tích tam giác OMN là \( k^2 \times \sqrt{3} \). 4. Kết luận: - Diện tích tam giác OMN phụ thuộc vào tỷ lệ \( k \), mà \( k \) là tỷ lệ chia đoạn SA và SB bởi mặt phẳng (P). Nếu không có thêm thông tin về \( k \), ta không thể tính chính xác diện tích tam giác OMN. Tuy nhiên, nếu biết \( k \), ta có thể tính diện tích theo công thức trên. Với các bước lập luận trên, ta đã chứng minh được AB song song với (OMN) và đưa ra cách tính diện tích tam giác OMN dựa trên tỷ lệ chia đoạn. Câu 2: Để hàm số liên tục tại \( x = 1 \), ta cần có: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] Trước tiên, ta tìm giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{\sqrt{x + 3} - 2} \] Nhận thấy rằng mẫu số có dạng \( \sqrt{x + 3} - 2 \). Ta nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của mẫu số: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x^2 - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}{(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2)} \] Mẫu số trở thành: \[ (\sqrt{x + 3})^2 - 2^2 = x + 3 - 4 = x - 1 \] Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x^2 - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}{x - 1} \] Ta biết rằng \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \), nên: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}{x - 1} \] Rút gọn \( x - 1 \) ở tử số và mẫu số: \[ \lim_{x \to 1} (x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2) \] Thay \( x = 1 \) vào: \[ (1 + 1)(\sqrt{1 + 3} + 2) = 2(\sqrt{4} + 2) = 2(2 + 2) = 2 \cdot 4 = 8 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 8 \] Để hàm số liên tục tại \( x = 1 \), ta cần có: \[ f(1) = 3 \cdot 1 + m = 3 + m \] Do đó: \[ 3 + m = 8 \] \[ m = 5 \] Vậy giá trị của \( m \) để hàm số liên tục tại \( x = 1 \) là \( m = 5 \). Đáp số: \( m = 5 \) Câu 3: a) Ta có: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 2n + 3}{2n^2 - 1} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( n^2 \): \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^2 - 2n + 3}{n^2}}{\frac{2n^2 - 1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{n^2}}{2 - \frac{1}{n^2}} \] Khi \( n \to +\infty \), các hạng tử chứa \( \frac{1}{n} \) và \( \frac{1}{n^2} \) sẽ tiến về 0: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - 0 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2} \] Vậy: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 2n + 3}{2n^2 - 1} = \frac{1}{2} \] b) Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{2x + 3}{x - 2} \] Khi \( x \) tiến đến 2 từ bên trái (\( x \to 2^- \)): \[ x - 2 \to 0^- \] \[ \frac{2x + 3}{x - 2} \to -\infty \] Khi \( x \) tiến đến 2 từ bên phải (\( x \to 2^+ \)): \[ x - 2 \to 0^+ \] \[ \frac{2x + 3}{x - 2} \to +\infty \] Do đó, giới hạn không tồn tại vì giới hạn trái và giới hạn phải khác nhau. Vậy: \[ \lim_{x \to 2} \frac{2x + 3}{x - 2} \text{ không tồn tại} \]