Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( O;R ) vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm ). Vẽ cát tuyến AEF với đường tròn sao cho AE bé hơn AF và góc BAE bé hơn góc bé hơn góc BAC Chứn...

Ta có thể giải quyết bài toán này bằng cách sử dụng định lí Ptolemy và định lí Euclid. Đầu tiên, ta vẽ đường thẳng EF cắt đường tròn (O;R) tại điểm M và N. Khi đó, ta có: - Trong tam giác AEF, ta có góc BAE bé hơn góc BAC, do đó đường cao AH của tam giác AEF nằm giữa đường cao AM và đường cao AN. - Ta có AM = AN = R, do đó tam giác AMN là tam giác đều. - Từ đó, ta suy ra EM = EN = Rcos(AEF/2). Tiếp theo, ta áp dụng định lí Euclid cho hai tam giác ABE và ACF: - AB và AC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B và C, do đó AB = AE và AC = AF. - Ta có góc BAE bé hơn góc BAC, do đó AB bé hơn AC. - Từ đó, ta suy ra góc ABE lớn hơn góc ACF. - Áp dụng định lí Euclid, ta có: BE/CF = AB/AC = AE/AF. Cuối cùng, ta áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác BCEF: - Ta có BM = CN = Rsin(AEF/2), EF = EM + EN = 2Rcos(AEF/2). - Áp dụng định lí Ptolemy, ta có: BE.CF + BF.CE = BC.EF = 2Rsin(AEF/2).2Rcos(AEF/2) = R^2.sin(AEF) = R^2.(2sin(AEF/2).cos(AEF/2)) = R^2.(sin(AEF)). - Từ đó, ta suy ra BE.CF + BF.CE = R^2.sin(AEF). Vì ta đã chứng minh được AEF là tam giác nhọn, nên sin(AEF) > 0. Do đó, ta có BE.CF + BF.CE > 0. Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng BE.CF + BF.CE = R^2.sin(AEF), và vì sin(AEF) > 0, nên BE.CF = BF.CE.