tìm số dư của phép chia sau

Để tìm số dư của phép chia này, ta sử dụng định lý Fermat nhỏ: nếu a và m là hai số nguyên tố cùng nhau, thì $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$, trong đó $\varphi(m)$ là hàm số Euler, cho biết số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn m. Ở đây, ta thấy rằng 2016 và 12016 không có ước chung, vì vậy ta có thể áp dụng định lý Fermat nhỏ cho 2016. Ta tính được $\varphi(12017) = 12016$, vì 12017 là số nguyên tố. Do đó, ta có: $2016^{12016} \equiv 1 \pmod{12017}$ Ta muốn tìm số dư của phép chia $2016^{2019} + 14012016$ cho $1 + 2016 + 2016^2 + \dots + 2016^{2016}$. Ta biểu diễn tổng này dưới dạng tổng cấp số nhân: $1 + 2016 + 2016^2 + \dots + 2016^{2016} = \frac{2016^{2017}-1}{2015}$ Do đó, phép chia cần tìm có thể được viết lại dưới dạng: $(2016^{2019} + 14012016) \div \frac{2016^{2017}-1}{2015}$ $= 2015 \cdot \frac{2016^{2019} + 14012016}{2016^{2017}-1}$ $= 2015 \cdot \frac{2016^{2017} \cdot 2016^2 + 14012016}{2016^{2017}-1}$ $= 2015 \cdot \frac{2016^{2017} \cdot (2016^2-1) + 2016^2 + 14012016}{2016^{2017}-1}$ $= 2015 \cdot \left(2016^2 + \frac{2016^2 + 14012016}{2016^{2017}-1}\right)$ Ta thấy rằng phần thứ hai của biểu thức này là một số nguyên, vì $2016^{2017}-1$ chia hết cho $2016^2-1 = 2015 \cdot 2017$. Do đó, ta có: $(2016^{2019} + 14012016) \div \frac{2016^{2017}-1}{1 + 2016 + 2016^2 + \dots + 2016^{2016}} \equiv 2015 \cdot 2016^2 \equiv \boxed{12015} \pmod{12017}$