tính đạo hàm của hàm số f(x)=2 tan x tại điểm x=π/3 A. f'[π/4]=4 B. f'[π/4]=-4 C. f'[π/4]=1/2 D. f'[π/4]=8

Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = 2 tan x tại điểm x = π/3, ta sử dụng công thức: (f(x))' = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]/h Áp dụng công thức này vào hàm số f(x) = 2 tan x, ta có: (f(x))' = lim(h->0) [2 tan(x+h) - 2 tan(x)]/h Ta biến đổi biểu thức trên bằng cách sử dụng công thức chuyển đổi tan(a+b): tan(a+b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a * tan b) Với a = x và b = h, ta có: tan(x+h) = (tan x + tan h)/(1 - tan x * tan h) Thay vào biểu thức ban đầu, ta được: (f(x))' = lim(h->0) [2(tan x + tan h)/(1 - tan x * tan h) - 2 tan x]/h (f(x))' = lim(h->0) [2 tan x (1 + tan x * tan h)/(1 - tan x * tan h)]/h (f(x))' = lim(h->0) [2 tan x (1 + tan x * tan h)/(1 - tan x * tan h)]/[tan h/h] (f(x))' = lim(h->0) [2 tan x (1 + tan x * tan h)/(1 - tan x * tan h)]/[sin h/h * cos h/h] (f(x))' = lim(h->0) [2 tan x (1 + tan x * tan h)/(cos h - sin x * sin h)]/[sin h/h * cos h/h] (f(x))' = lim(h->0) [2 tan x (1 + tan x * tan h)/(cos h - sin x * sin h)]/[h * (sin h/h) * (cos h/h)] (f(x))' = lim(h->0) [2 tan x (1 + tan x * tan h)/(cos h - sin x * sin h)]/[h * 1 * 1] (f(x))' = lim(h->0) [2 tan x (1 + tan x * tan h)/(cos h - sin x * sin h)]/h Để tính giới hạn này, ta sử dụng công thức l'Hôpital: lim(h->0) [2 tan x (1 + tan x * tan h)/(cos h - sin x * sin h)]/h = lim(h->0) [2 tan x * sec^2(x+h)]/[cos h * cos x - sin x * sin h] = 2 sec^2(x) * lim(h->0) [tan x * cos h + sin h]/[cos h * cos x - sin x * sin h] = 2 sec^2(x) * lim(h->0) [tan x * cos h]/[cos h * cos x - sin x * sin h] + 2 sec^2(x) * lim(h->0) [sin h]/[cos h * cos x - sin x * sin h] = 2 sec^2(x) * [tan x * 1]/[cos x * 1 - sin x * 0] + 2 sec^2(x) * [0]/[cos 0 * cos x - sin x * sin 0] = 2 sec^2(x) * tan x Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = 2 tan x tại điểm x = π/3 là: f'(π/3) = 2 sec^2(π/3) * tan(π/3) = 2 * 4/3 * √3/3 = 8√3/9. Vậy kết quả là 8√3/9.