Cho ABC vuông tại A, có AB = 12 cm ; AC = 16 cm. Kẻ đường cao AH, H∈BC). a) Chứng minh: HBA ഗABC b) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH. c) Trong ABC kẻ phân giác AD (D∈ BC). Trong ADB kẻ phân giác DE...

a) Ta có $\widehat{HAB}=\widehat{HAC}=90^{\circ}$, nên $HA$ là đường cao của tam giác $ABC$. Do đó, ta có $HB^2=HA.HC$ và $HC^2=HA.HB$. Từ đó suy ra $HB=HC$, hay tam giác $HBC$ cân tại $H$. Vì $HA$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $HA$ vuông góc với $BC$. Do đó, $\widehat{HBA}=\widehat{HCA}$, suy ra tam giác $HBA$ đồng dạng với tam giác $ABC$ theo góc. Từ đó suy ra $HBA ഗABC$. b) Ta có $HB=HC=\dfrac{BC}{2}$. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $ABC$, ta có $BC^2=AB^2+AC^2=12^2+16^2=400$. Từ đó suy ra $BC=20$ cm. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $ABH$, ta có $AH^2=AB^2-HB^2=12^2-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2=144-100=44$. Từ đó suy ra $AH=2\sqrt{11}$ cm. c) Ta có $\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{AD}{DB}$ (do $DE$ là phân giác trong tam giác $ABD$), $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$ (do $AD$ là phân giác trong tam giác $ABC$) và $\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{DC}{AB}$ (do $DF$ là phân giác trong tam giác $ADC$). Nhân các tỉ số này với nhau, ta được: $\dfrac{EA}{EB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{AD}{DB}.\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{DC}{AB}=1.$ Do đó, ta có $EA/EB . DB/DC . FC/FA=1$.