Cho phương trình x² - 2(m-1)x - 2m = 0 với m là tham số Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_{1}$;$x_{2}$ thỏa mãn: $x^{2}_{1}$ + $x_{1}$ - $x_{2}$ = 5 - 2m$x_{2}$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_{1}$;$x_{2}$ thì $\Delta$ > 0 $\Delta$ = ($m-1$)$^{2}$ + 2m = $m^{2}$ - 2m + 1 + 2m = $m^{2}$ + 1 > 0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm khi m thuộc tập R. Ta giải phương trình x² - 2(m-1)x - 2m = 0 bằng công thức: $\Delta$ = ($m-1$)$^{2}$ + 2m $x_{1}$ = $\frac{2(m-1) + \sqrt{\Delta}}{2}$ $x_{2}$ = $\frac{2(m-1) - \sqrt{\Delta}}{2}$ Suy ra: $x_{1}$ + $x_{2}$ = 2(m-1) Thay vào biểu thức cần tìm ta được: $x^{2}_{1}$ + $x_{1}$ - $x_{2}$ = $x^{2}_{1}$ + $x_{1}$ - ($x_{1}$ - 2(m-1)) = 2$x_{1}$ + 2(m-1) = 4(m-1) + 2$\sqrt{\Delta}$ Vậy ta cần giải phương trình sau để tìm các giá trị của m: 4(m-1) + 2$\sqrt{\Delta}$ = 5 - 2m$x_{2}$ 4(m-1) + 2$\sqrt{m^{2} + 1}$ = 5 - 2m$\frac{2(m-1) - \sqrt{m^{2} + 1}}{2}$ 8(m-1) + 4$\sqrt{m^{2} + 1}$ = 5 - m(2m-4+2$\sqrt{m^{2} + 1}$) 2$m^{2}$ - 4m - 2$\sqrt{m^{2} + 1}$ - 3 = 0 Giải phương trình bậc 2 này ta được: $m$ $\in$ {1 + $\sqrt{2}$ ; 1 - $\sqrt{2}$}