Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Kẻ AH ⊥ BC tại H. Trên đoạn thằng HC lấy điểm E sao cho HE = HB. a) Chứng minh Δ AHB = Δ AHE b) Chứng minh AE < AC c) Kẻ EF ⊥ AC (F ∈ AC); CK ⊥ AE (K ∈ AE). Chứng minh...

a) Ta có: - $\angle HAB = \angle HAC$ (vì $AH$ đứng song song với $BC$) - $\angle AHB = \angle AHE$ (cùng bằng $90^\circ$) - $HB = HE$ (điều kiện của đề bài) Vậy, theo trường hợp tam giác có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau, ta có $\Delta AHB = \Delta AHE$. b) Ta có: - $\angle AHE = \angle AHB$ (vì $\Delta AHB = \Delta AHE$) - $\angle ACB > \angle AHB$ (vì tam giác nhọn) Vậy, $\angle AHE < \angle ACB$, suy ra $AE < AC$. c) Ta cần chứng minh rằng $EF$, $CK$ và $AH$ đồng quy, tức là điểm giao của chúng nằm trên một đường thẳng. Gọi $P$ là giao điểm của $EF$ và $CK$. Ta sẽ chứng minh rằng $P$ nằm trên $AH$. Ta có: - $\angle AHB = \angle AHE$ (vì $\Delta AHB = \Delta AHE$) - $\angle EHF = \angle AHB$ (cùng bằng $90^\circ$) - $\angle KCF = \angle ACB$ (cùng bằng $90^\circ$) Vậy, $\angle EHP = \angle AHB - \angle EHF = \angle ACB - \angle KCF = \angle AKC$. Như vậy, ta có $\Delta AHP \sim \Delta AKC$, suy ra $\dfrac{AP}{AK} = \dfrac{AH}{AC}$. Tương tự, ta có $\Delta AEP \sim \Delta ACF$, suy ra $\dfrac{AP}{AC} = \dfrac{AE}{AF}$. Từ hai biểu thức trên, ta suy ra $\dfrac{AE}{AF} = \dfrac{AH}{AC}$, hay $AE \cdot AC = AH \cdot AF$. Do đó, $P$ nằm trên đường cao $AH$ của tam giác $AFC$, tức là $EF$, $CK$ và $AH$ đồng quy.