cho tam giác ABC nhọn và điểm M thuộc cung nhỏ BC (AB< AC, M khác B,C). Vẽ MD vuông góc với BC tại D, ME vuông góc với AC tại E. a) C/m: tứ giác MCED nội tiếp đường tròn, xác định tâm và bán kính của đ...

a) Ta có: $\widehat{MDC} = \widehat{MBC} = \widehat{MAC} = \widehat{MEC}$ Do đó, tứ giác $MCED$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Để xác định tâm và bán kính của đường tròn $(O)$, ta cần tìm được trung điểm $I$ của đoạn thẳng $ME$ và đoạn thẳng $CD$. Gọi $I$ là trung điểm của $ME$, $N$ là trung điểm của $CD$. Khi đó, ta có: $\overrightarrow{MI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{ME}$ $\overrightarrow{NC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ Vậy: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{ME} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{ME} + \overrightarrow{CD}) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{MD}$ Do đó, $MN \parallel AD$. Mà $AD$ là đường trung trực của $BC$, nên $MN$ cũng là đường trung trực của $BC$. Khi đó, ta có $O$ là giao điểm của $MN$ và đường trung trực của $BC$. Vậy, ta chỉ cần tìm được trung điểm $N$ của $CD$ là có thể xác định được tâm và bán kính của đường tròn $(O)$. Ta có: $\overrightarrow{ND} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MA}$ Vậy, ta có công thức tính tọa độ của $N$: $\begin{cases}x_N = x_C \\ y_N = y_M + \dfrac{1}{2}(y_A - y_C)\end{cases}$ Từ đó, ta tính được tọa độ của $O$, và từ đó tính được bán kính của đường tròn $(O)$. b) Ta có: $\widehat{MDE} = \widehat{MBA}$ $\widehat{MED} = \widehat{MAC} = \widehat{MAB}$ Do đó, $\Delta MDE \sim \Delta MBA$. Gọi $F$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AF$. Khi đó, ta có: $\widehat{MFA} = 90^\circ - \widehat{AMF} = 90^\circ - \widehat{AME} = \widehat{EMD}$ $\widehat{MAF} = \widehat{MAC} = \widehat{MED}$ Do đó, $\Delta MAF \sim \Delta MED$. Từ đó, ta có: $\dfrac{MF}{MA} = \dfrac{ME}{MD}$ Mà $MA = MB$, nên: $\dfrac{MF}{MB} = \dfrac{ME}{MD}$ Do đó, $\Delta MFB \sim \Delta MED$. Khi đó, ta có: $\widehat{MFB} + \widehat{MED} = 180^\circ$ Do đó, $MF \perp AF$.