Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai đường cao AD, CE cắt nhau tại H a) Giả sử góc A =60. Tính độ dài cung nhỏ BC và diện tích viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC the...

a) Ta có $\angle A = 60^\circ$, suy ra $\angle BOC = 120^\circ$. Do đó, ta có $BC = 2R\sin{\frac{\angle BOC}{2}} = 2R\sin{60^\circ} = R\sqrt{3}$. Diện tích viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC là $\frac{1}{2}R^2(\frac{\pi}{3}-\sin{\frac{\pi}{3}}) = \frac{1}{2}R^2(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})$. b) Ta có $\angle BEH = \angle BAC = 60^\circ$ và $\angle BDH = \angle BCH = 90^\circ$, suy ra tứ giác $BEHD$ nội tiếp. Gọi $P$ là giao điểm của $AK$ và $CE$. Ta có $\angle APM = \angle AKC = 90^\circ$, suy ra tứ giác $APMK$ nội tiếp. Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác $APMK$, ta có $AM.AK = AP.MK + AK.MP = AP.MK + AH.AF$. Do đó, ta cần chứng minh $AP.MK = AH.AF$. Ta có $\triangle AHP \sim \triangle CEP$ và $\triangle AKM \sim \triangle CDK$, suy ra: $\frac{AH}{CE} = \frac{HP}{EP} \quad \text{và} \quad \frac{AK}{CD} = \frac{KM}{DM}$ Do đó, ta có: $\frac{AH}{AK} = \frac{CE}{CD}.\frac{HP}{EP}.\frac{DM}{KM} = \frac{CE}{CD}.\frac{EP+HP}{EP}.\frac{DM}{KM} = \frac{CE}{CD}+\frac{AH}{AK}.\frac{HP}{EP}.\frac{DM}{KM}$ Suy ra: $\frac{AH}{AK} = \frac{CE}{CD(1-\frac{HP}{EP}.\frac{DM}{KM})} = \frac{CE}{CD-CE} = \frac{CE}{DE}$. Do đó, ta có $AP.MK = AE.EI$ và $AH.AF = AE.EF$, suy ra $AP.MK = AH.AF$. Vậy tứ giác $BEHD$ nội tiếp và $AH.AF=AM.AK$. c) Ta có $\angle EIN = \angle EAK = \angle ECK = \angle ECN$, suy ra tứ giác $EDNC$ là hình thang cân.