Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1. Chứng minh bất đẳng thức sau: (1/a³+b³+1) +(1/b³+c³+1) +(1/c³+a³+1)

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM như sau: Ta có: a³ + 1 + 1 ≥ 3√(a³.1.1) = 3a Tương tự, ta có: b³ + 1 + 1 ≥ 3b c³ + 1 + 1 ≥ 3c Do đó: 1/a³+b³+1 ≤ 1/3(a+b+1) 1/b³+c³+1 ≤ 1/3(b+c+1) 1/c³+a³+1 ≤ 1/3(c+a+1) Vậy, ta có: (1/a³+b³+1) +(1/b³+c³+1) +(1/c³+a³+1) ≤ 1/3(a+b+c+3) Do abc = 1, nên ta có: a+b+c ≥ 3√(abc) = 3 Vậy: 1/3(a+b+c+3) ≤ 1/6(a+b+c) Do đó: (1/a³+b³+1) +(1/b³+c³+1) +(1/c³+a³+1) ≤ 1/6(a+b+c) Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức cần giải quyết.