Một sao chổi chuyền động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là 106 km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilômét....

Quỹ đạo parabol có phương trình chính tắc là $y^2=4ax$, trong đó $a$ là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường tiếp tuyến tại tiêu điểm. Ta biết rằng khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $106$ km, vậy $a=\frac{106}{2}=53$ km. Do đó, phương trình chính tắc của quỹ đạo là $y^2=212x$. Khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, ta có thể vẽ một đường thẳng đi qua sao chổi và song song với trục đối xứng của quỹ đạo. Đường thẳng này sẽ cắt quỹ đạo tại một điểm $P$ và cắt trục đối xứng của quỹ đạo tại một điểm $Q$. Theo tính chất của quỹ đạo parabol, ta có $PQ=PF$, trong đó $F$ là tiêu điểm của quỹ đạo và $PF$ là khoảng cách từ điểm $P$ đến tiêu điểm $F$. Vì sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, nên điểm $Q$ trùng với tâm Mặt Trời. Khi đó, ta có $PQ=PT$, trong đó $T$ là điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và quỹ đạo. Ta cần tính khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời, tức là $2PQ$. Để tính được $PQ$, ta cần tìm tọa độ của điểm $P$. Gọi $(x,y)$ là tọa độ của điểm $P$. Ta có hai phương trình: $y^2=212x$ (phương trình của quỹ đạo) và $y=\frac{y_P}{x_P}x$ (phương trình của đường thẳng). Thay $y$ trong phương trình của quỹ đạo bằng $\frac{y_P^2}{x_P^2}x$ ta được $x=\frac{y_P^4}{212x_P^2}$. Thay $x$ này vào phương trình của đường thẳng ta được $y=\frac{y_P^3}{212x_P}$. Vậy tọa độ của điểm $P$ là $(\frac{y_P^4}{212x_P^2}, \frac{y_P^3}{212x_P})$. Ta cần tìm $y_P$ và $x_P$ sao cho đường thẳng đi qua điểm $P$ và vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo. Đường thẳng này có phương trình $y=-\frac{x_P}{y_P}x+\frac{y_P^3}{212x_P}$. Vì đường thẳng này đi qua điểm $P$, nên ta có $\frac{y_P^3}{212x_P}=-\frac{x_P}{y_P}\cdot \frac{y_P^4}{212x_P^2}+\frac{y_P^3}{212x_P}$, hay $y_P^2=-x_P^2+2a$. Vì $a=53$ km, nên $y_P^2=-x_P^2+106$ km. Để tìm $y_P$ và $x_P$, ta giải hệ phương trình $y_P^2=-x_P^2+106$ km và $y_P=\frac{y_P}{x_P}x_P$, ta được $y_P=\sqrt{\frac{106}{2}}=5\sqrt{53}$ km và $x_P=\frac{y_P^2}{106}=25\sqrt{53}$ km. Khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $2PQ=2PT=2PF-2TF$. Ta đã biết $PF=2a=106$ km. Để tính $TF$, ta cần tìm phương trình đường tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm $T$. Đường tiếp tuyến này có phương trình $yy_T=2a(x+x_T)$, trong đó $(x_T,y_T)$ là tọa độ của điểm $T$. Ta có $y_T=\sqrt{212x_T}$ và $x_T=\frac{y_P^4}{212x_P^2}-a=\frac{53}{5}$. Vậy $y_T=\sqrt{212\cdot \frac{53}{5}}=34\sqrt{53}$ km. Khi đó, ta có $TF=FT=y_T-y_F=34\sqrt{53}-53$ km. Vậy khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $2PF-2TF=2(106)-(2\cdot (34\sqrt{53}-53))=212-68\sqrt{53}\approx 15.6$ km.