chứng minh đa thức x^2022 - x^2021 + x^2 - x + 1 vô nghiệm

Để chứng minh rằng đa thức $$ vô nghiệm, ta sử dụng phương pháp giả sử ngược. Giả sử đa thức này có một nghiệm $$, tức là $$. Ta nhận thấy rằng $$ có thể viết lại thành: $$ Do đó, ta có thể suy ra rằng $$ hoặc $$. Nếu $$, ta có thể giải phương trình này để tìm ra hai nghiệm phức là $$ và $$. Tuy nhiên, cả hai nghiệm này không thể là nghiệm của đa thức ban đầu vì chúng không phải là số thực. Nếu $$, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để chứng minh rằng $$ cho mọi $$. Do đó, giả sử này cũng không khả thi. Vậy nên, giả sử ban đầu là sai và đa thức $$ không có nghiệm.